Номер 290, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2^{x+2} - 0.75 \cdot 2^{x+2} > 1, \\ 0.2^x \le 0.04^{x^2} \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$2^{x+2} - 0.75 \cdot 2^{x+2} > 1$

Вынесем общий множитель $2^{x+2}$ за скобки:

$2^{x+2}(1 - 0.75) > 1$

$2^{x+2} \cdot 0.25 > 1$

Так как $0.25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$, неравенство можно переписать в виде:

$2^{x+2} \cdot 2^{-2} > 1$

$2^{x+2-2} > 1$

$2^x > 2^0$

Поскольку основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$x > 0$

Решением первого неравенства является интервал $x \in (0, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$0.2^x \le 0.04^{x^2}$

Представим $0.04$ как степень числа $0.2$: $0.04 = (0.2)^2$.

$0.2^x \le (0.2^2)^{x^2}$

$0.2^x \le 0.2^{2x^2}$

Поскольку основание степени $0.2 < 1$, при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$x \ge 2x^2$

Перенесем все члены в одну часть и решим полученное квадратное неравенство:

$2x^2 - x \le 0$

$x(2x - 1) \le 0$

Корнями уравнения $x(2x-1) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 0.5$. Ветви параболы $y = 2x^2 - x$ направлены вверх, поэтому выражение $x(2x-1)$ неположительно на отрезке между корнями.

Решением второго неравенства является отрезок $0 \le x \le 0.5$, или $x \in [0; 0.5]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств, чтобы найти решение системы:

$x \in (0, +\infty) \cap [0; 0.5]$

Пересечением этих множеств является полуинтервал $(0; 0.5]$.

Ответ: $(0; 0.5]$.

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x-2)^{2x^2 - 11x + 9} < 1, \\ (0.3)^{\sqrt{4x^2 - 3x + 2}} > (0.3)^{\sqrt{x}} \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $(x-2)^{2x^2 - 11x + 9} < 1$.

Область определения показательной функции требует, чтобы основание было положительным: $x-2 > 0$, откуда $x > 2$.

Рассмотрим два возможных случая для основания $x-2$.

Случай 1: Основание больше 1.

$x - 2 > 1 \implies x > 3$.

Если основание больше 1, то для выполнения неравенства показатель степени должен быть отрицательным:

$2x^2 - 11x + 9 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 11x + 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_1 = \frac{11 - 7}{4} = 1$, $x_2 = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$.

Неравенство $2x^2 - 11x + 9 < 0$ выполняется при $1 < x < 4.5$.

Найдем пересечение этого решения с условием данного случая ($x > 3$): $(1; 4.5) \cap (3; +\infty) = (3; 4.5)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$0 < x - 2 < 1 \implies 2 < x < 3$.

Если основание от 0 до 1, то для выполнения неравенства показатель степени должен быть положительным:

$2x^2 - 11x + 9 > 0$.

Это неравенство справедливо для $x < 1$ или $x > 4.5$.

Найдем пересечение этого решения с условием данного случая ($2 < x < 3$): $((-\infty; 1) \cup (4.5; +\infty)) \cap (2; 3) = \emptyset$. В этом случае решений нет.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем общее решение первого неравенства: $x \in (3; 4.5)$.

Теперь решим второе неравенство:

$(0.3)^{\sqrt{4x^2 - 3x + 2}} > (0.3)^{\sqrt{x}}$

Найдем область определения неравенства (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

1. $4x^2 - 3x + 2 \ge 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 9 - 32 = -23 < 0$. Так как старший коэффициент ($4$) положителен, а дискриминант отрицателен, выражение $4x^2 - 3x + 2$ всегда положительно. Это условие выполняется для всех действительных $x$.

2. $x \ge 0$.

Таким образом, ОДЗ для второго неравенства: $x \ge 0$.

Основание степени $0.3 < 1$, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$\sqrt{4x^2 - 3x + 2} < \sqrt{x}$

В области определения ($x \ge 0$) обе части неравенства неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат, сохранив знак неравенства:

$4x^2 - 3x + 2 < x$

$4x^2 - 4x + 2 < 0$

Разделим обе части на 2: $2x^2 - 2x + 1 < 0$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $2x^2 - 2x + 1$. Его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 < 0$.

Так как старший коэффициент ($2$) положителен, а дискриминант отрицателен, выражение $2x^2 - 2x + 1$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, неравенство $2x^2 - 2x + 1 < 0$ не имеет решений.

Решением второго неравенства является пустое множество $\emptyset$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$(3; 4.5) \cap \emptyset = \emptyset$.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).