Номер 292, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано логарифмическое уравнение $lg(3 - x) = lg(x + 2)$.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы. Но сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), так как аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

ОДЗ:

$ \begin{cases} 3 - x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 3 \\ x > -2 \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-2; 3)$.

Теперь решаем уравнение:

$3 - x = x + 2$

$3 - 2 = x + x$

$1 = 2x$

$x = \frac{1}{2}$

Проверяем, входит ли корень в ОДЗ. $0.5 \in (-2; 3)$, следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: $x = 0.5$.

2) Дано логарифмическое уравнение $lg(x) + lg(x - 1) = lg(2)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Используем свойство логарифмов (сумма логарифмов равна логарифму произведения):

$lg(x \cdot (x - 1)) = lg(2)$

Приравниваем аргументы:

$x(x - 1) = 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 1$). Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.

Ответ: $x = 2$.

3) Дано логарифмическое уравнение $log_5(x + 1) = log_5(4x - 5)$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 4x - 5 > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -1 \\ 4x > 5 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -1 \\ x > \frac{5}{4} \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in (\frac{5}{4}; +\infty)$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x + 1 = 4x - 5$

$1 + 5 = 4x - x$

$6 = 3x$

$x = 2$

Проверяем корень по ОДЗ. $2 > \frac{5}{4}$ (т.к. $2 > 1.25$), следовательно, корень является решением.

Ответ: $x = 2$.

4) Дано логарифмическое уравнение $log_2(4 - x) = log_2(1 - 2x)$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 4 - x > 0 \\ 1 - 2x > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 4 \\ 1 > 2x \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 4 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2})$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$4 - x = 1 - 2x$

$2x - x = 1 - 4$

$x = -3$

Проверяем корень по ОДЗ. $-3 < \frac{1}{2}$, следовательно, корень является решением.

Ответ: $x = -3$.