Номер 298, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

298. 1) $log_3 \sqrt{2x+1} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\sqrt{2x+1} > 0$

Возведем обе части в квадрат:

$2x+1 > 0$

$2x > -1$

$x > -0.5$

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма ($log_a b = c \iff b = a^c$):

$\sqrt{2x+1} = 3^1$

$\sqrt{2x+1} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{2x+1})^2 = 3^2$

$2x+1 = 9$

$2x = 8$

$x = 4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=4$ условию ОДЗ ($x > -0.5$).

Так как $4 > -0.5$, корень является решением уравнения.

Ответ: $x=4$

2) $log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2x-2} = -2$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\sqrt[3]{2x-2} > 0$

Так как корень нечетной степени, знак выражения под корнем совпадает со знаком самого корня. Следовательно:

$2x-2 > 0$

$2x > 2$

$x > 1$

Решим уравнение по определению логарифма:

$\sqrt[3]{2x-2} = (\frac{1}{2})^{-2}$

$\sqrt[3]{2x-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^2 = 4$

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{2x-2})^3 = 4^3$

$2x-2 = 64$

$2x = 66$

$x = 33$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=33$ условию ОДЗ ($x > 1$).

Так как $33 > 1$, корень является решением уравнения.

Ответ: $x=33$

3) $log_{\frac{3}{5}} \frac{2x+3}{x-2} = 1$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{2x+3}{x-2} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$2x+3 = 0 \implies x = -1.5$

$x-2 = 0 \implies x = 2$

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1.5)$, $(-1.5, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале. Дробь положительна, когда $x \in (-\infty, -1.5) \cup (2, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Решим уравнение по определению логарифма:

$\frac{2x+3}{x-2} = (\frac{3}{5})^1$

$\frac{2x+3}{x-2} = \frac{3}{5}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$5(2x+3) = 3(x-2)$

$10x + 15 = 3x - 6$

$10x - 3x = -6 - 15$

$7x = -21$

$x = -3$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=-3$ условию ОДЗ ($x \in (-\infty, -1.5) \cup (2, +\infty)$).

Так как $-3$ принадлежит интервалу $(-\infty, -1.5)$, корень является решением уравнения.

Ответ: $x=-3$

4) $log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3x-5} = 0$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{1}{3x-5} > 0$

Так как числитель дроби (1) положителен, для выполнения неравенства необходимо, чтобы и знаменатель был положителен:

$3x-5 > 0$

$3x > 5$

$x > \frac{5}{3}$

Решим уравнение по определению логарифма:

$\frac{1}{3x-5} = (\sqrt{3})^0$

Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому:

$\frac{1}{3x-5} = 1$

$1 = 3x-5$

$6 = 3x$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=2$ условию ОДЗ ($x > \frac{5}{3}$).

Так как $2 > \frac{5}{3}$ (поскольку $2 = \frac{6}{3}$), корень является решением уравнения.

Ответ: $x=2$