Номер 302, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

302.1)

Берілген теңдеулер жүйесі:

$\begin{cases} \log_3(y - x) = 1, \\ 3^{x+1} \cdot 2^y = 24.\end{cases}$

Алдымен, логарифмдік теңдеуді шешейік. Логарифмнің анықтамасы бойынша:

$y - x = 3^1$

$y - x = 3$

Бұдан $y$-ті $x$ арқылы өрнектейміз:

$y = x + 3$

Енді осы өрнекті екінші теңдеуге қоямыз:

$3^{x+1} \cdot 2^{x+3} = 24$

Дәрежелердің қасиеттерін қолданып, теңдеуді түрлендіреміз:

$3^x \cdot 3^1 \cdot 2^x \cdot 2^3 = 24$

$3^x \cdot 3 \cdot 2^x \cdot 8 = 24$

$(3^x \cdot 2^x) \cdot (3 \cdot 8) = 24$

$(6)^x \cdot 24 = 24$

Теңдеудің екі жағын да 24-ке бөлеміз:

$6^x = 1$

$6^x = 6^0$

Бұдан $x = 0$ екені шығады.

Енді $y$-тің мәнін табамыз:

$y = x + 3 = 0 + 3 = 3$

Жүйенің шешімін тексерейік:

Бірінші теңдеу: $\log_3(3 - 0) = \log_3(3) = 1$.

Екінші теңдеу: $3^{0+1} \cdot 2^3 = 3^1 \cdot 8 = 24$.

Екі теңдеу де орындалады, демек шешім дұрыс.

Ответ: $(0; 3)$

2)

Берілген теңдеулер жүйесі:

$\begin{cases} \log_2(x - y) = 1, \\ 2^x \cdot 3^{y+1} = 72.\end{cases}$

Бірінші теңдеуден логарифмнің анықтамасы бойынша:

$x - y = 2^1$

$x - y = 2$

Бұдан $x$-ты $y$ арқылы өрнектейміз:

$x = y + 2$

Енді осы өрнекті екінші теңдеуге қоямыз:

$2^{y+2} \cdot 3^{y+1} = 72$

Дәрежелердің қасиеттерін қолданып, теңдеуді түрлендіреміз:

$2^y \cdot 2^2 \cdot 3^y \cdot 3^1 = 72$

$2^y \cdot 4 \cdot 3^y \cdot 3 = 72$

$(2^y \cdot 3^y) \cdot (4 \cdot 3) = 72$

$(6)^y \cdot 12 = 72$

Теңдеудің екі жағын да 12-ге бөлеміз:

$6^y = 6$

$6^y = 6^1$

Бұдан $y = 1$ екені шығады.

Енді $x$-тің мәнін табамыз:

$x = y + 2 = 1 + 2 = 3$

Жүйенің шешімін тексерейік:

Бірінші теңдеу: $\log_2(3 - 1) = \log_2(2) = 1$.

Екінші теңдеу: $2^3 \cdot 3^{1+1} = 8 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Екі теңдеу де орындалады, демек шешім дұрыс.

Ответ: $(3; 1)$