Номер 307, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное уравнение: $4^{\log_8(2x-2)} \cdot 0.5^{\log_8(2x-2)} = \sqrt[3]{16}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $2x - 2 > 0$, откуда $2x > 2$, и $x > 1$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^c \cdot b^c = (ab)^c$: $(4 \cdot 0.5)^{\log_8(2x-2)} = 2^{\log_8(2x-2)}$.
Преобразуем правую часть уравнения: $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2^{4/3}$.
Получаем уравнение: $2^{\log_8(2x-2)} = 2^{4/3}$.
Так как основания степеней равны, приравниваем показатели: $\log_8(2x-2) = \frac{4}{3}$.
По определению логарифма: $2x-2 = 8^{4/3}$.
Вычисляем правую часть: $8^{4/3} = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16$.
Решаем линейное уравнение: $2x - 2 = 16$, $2x = 18$, $x = 9$.
Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 > 1$).
Ответ: $9$.

2) Исходное уравнение: $\log_x \sqrt{5} + \log_x (5x) - \frac{9}{4} = (\log_x \sqrt{5})^2$.
ОДЗ: основание логарифма $x > 0$ и $x \ne 1$.
Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $\log_a b^c = c \log_a b$ и $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$: $\log_x 5^{1/2} + (\log_x 5 + \log_x x) - \frac{9}{4} = (\log_x 5^{1/2})^2$.
$\frac{1}{2}\log_x 5 + \log_x 5 + 1 - \frac{9}{4} = (\frac{1}{2}\log_x 5)^2$.
Введем замену $t = \log_x 5$. Уравнение примет вид: $\frac{1}{2}t + t + 1 - \frac{9}{4} = (\frac{1}{2}t)^2$.
$\frac{3}{2}t - \frac{5}{4} = \frac{1}{4}t^2$.
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей: $6t - 5 = t^2$.
$t^2 - 6t + 5 = 0$.
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.
Выполним обратную замену: 1. Если $t=1$, то $\log_x 5 = 1$, откуда $x^1 = 5$, $x=5$. 2. Если $t=5$, то $\log_x 5 = 5$, откуда $x^5 = 5$, $x=\sqrt[5]{5}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$ и $x \ne 1$).
Ответ: $5; \sqrt[5]{5}$.

3) Исходное уравнение: $\log_{x+4}(x^4 + x^2 + 2x)\log_{x+1}(x+4) = 2$.
ОДЗ: 1. Основания логарифмов больше 0 и не равны 1: $x+4 > 0 \implies x > -4$; $x+4 \ne 1 \implies x \ne -3$; $x+1 > 0 \implies x > -1$; $x+1 \ne 1 \implies x \ne 0$. 2. Аргументы логарифмов больше 0: $x^4 + x^2 + 2x > 0 \implies x(x^3+x+2) > 0$. Разложив $x^3+x+2$ на множители, получим $x(x+1)(x^2-x+2) > 0$. Так как $x^2-x+2 > 0$ для всех $x$, то $x(x+1)>0$, что верно при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$. Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.
Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$: $\log_{x+1}(x+4) = \frac{1}{\log_{x+4}(x+1)}$.
Подставим в уравнение: $\log_{x+4}(x^4 + x^2 + 2x) \cdot \frac{1}{\log_{x+4}(x+1)} = 2$.
$\frac{\log_{x+4}(x^4 + x^2 + 2x)}{\log_{x+4}(x+1)} = 2$.
По формуле $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$, получаем: $\log_{x+1}(x^4 + x^2 + 2x) = 2$.
По определению логарифма: $x^4 + x^2 + 2x = (x+1)^2$.
$x^4 + x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1$.
$x^4 = 1$.
$x^4 - 1 = 0$.
$(x^2-1)(x^2+1)=0$.
$(x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Действительные корни: $x=1$ и $x=-1$.
Проверяем по ОДЗ ($x>0$). Корень $x=1$ подходит, а $x=-1$ - нет.
Ответ: $1$.

4) Исходное уравнение: $(x+1)^{\log_3(x-2)} + 2(x-2)^{\log_3(x+1)} = 3x^2+6x+3$.
ОДЗ: 1. Аргументы логарифмов больше 0: $x-2 > 0 \implies x > 2$; $x+1 > 0 \implies x > -1$. 2. Основания степеней с иррациональными показателями должны быть положительны: $x+1 > 0$ и $x-2 > 0$. Общее ОДЗ: $x > 2$.
Используем свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$: $(x+1)^{\log_3(x-2)} = (x-2)^{\log_3(x+1)}$.
Подставим это в уравнение: $(x-2)^{\log_3(x+1)} + 2(x-2)^{\log_3(x+1)} = 3x^2+6x+3$.
$3(x-2)^{\log_3(x+1)} = 3(x^2+2x+1)$.
$3(x-2)^{\log_3(x+1)} = 3(x+1)^2$.
Разделим обе части на 3: $(x-2)^{\log_3(x+1)} = (x+1)^2$.
Прологарифмируем обе части по основанию 3: $\log_3\left((x-2)^{\log_3(x+1)}\right) = \log_3\left((x+1)^2\right)$.
Используя свойство логарифма $\log_b (a^c) = c \log_b a$: $\log_3(x+1) \cdot \log_3(x-2) = 2\log_3(x+1)$.
Перенесем все в одну часть и вынесем общий множитель: $\log_3(x+1) \cdot \log_3(x-2) - 2\log_3(x+1) = 0$.
$\log_3(x+1)(\log_3(x-2) - 2) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 1. $\log_3(x+1) = 0 \implies x+1 = 3^0 \implies x+1=1 \implies x=0$. 2. $\log_3(x-2) - 2 = 0 \implies \log_3(x-2) = 2 \implies x-2 = 3^2 \implies x-2=9 \implies x=11$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > 2$). Корень $x=0$ не подходит. Корень $x=11$ подходит.
Ответ: $11$.