Номер 309, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Решим систему уравнений. (Примечание: в первом уравнении исходного задания, вероятно, допущена опечатка. Решение приведено для наиболее вероятного корректного вида уравнения, так как в исходном виде задача не решается стандартными методами.)
$\begin{cases} \log_2^2 y + \log_2 x \log_2 y - 2 \log_2^2 x = 0, \\ 9x^2y - xy^2 = 64; \end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.
Рассмотрим первое уравнение. Это однородное уравнение относительно $\log_2 x$ и $\log_2 y$.
Пусть $a = \log_2 y$ и $b = \log_2 x$. Уравнение принимает вид:
$a^2 + ab - 2b^2 = 0$
Разложим левую часть на множители:
$a^2 + 2ab - ab - 2b^2 = 0$
$a(a+2b) - b(a+2b) = 0$
$(a-b)(a+2b) = 0$
Отсюда получаем два случая:
Случай 1: $a - b = 0 \implies a = b$.
Возвращаясь к исходным переменным:
$\log_2 y = \log_2 x \implies y = x$.
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$9x^2(x) - x(x^2) = 64$
$9x^3 - x^3 = 64$
$8x^3 = 64$
$x^3 = 8$
$x = 2$.
Поскольку $y=x$, то $y=2$.
Получили решение $(2, 2)$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ: $x=2>0, y=2>0$. Удовлетворяет.
Случай 2: $a + 2b = 0 \implies a = -2b$.
Возвращаясь к исходным переменным:
$\log_2 y = -2\log_2 x \implies \log_2 y = \log_2(x^{-2}) \implies y = \frac{1}{x^2}$.
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$9x^2\left(\frac{1}{x^2}\right) - x\left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = 64$
$9 - x\left(\frac{1}{x^4}\right) = 64$
$9 - \frac{1}{x^3} = 64$
$-\frac{1}{x^3} = 55$
$x^3 = -\frac{1}{55}$.
Так как $x$ должен быть положительным ($x>0$ по ОДЗ), то в этом случае действительных решений, удовлетворяющих ОДЗ, нет.
Таким образом, система имеет единственное решение.
Ответ: $(2, 2)$.

2)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 2 \log_3^2 x + \log_3 x \cdot \log_3 y - \log_3^2 y = 0, \\xy + \frac{x^2}{y} = 28.\end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.
Рассмотрим первое уравнение. Это однородное уравнение относительно $\log_3 x$ и $\log_3 y$.
Пусть $a = \log_3 x$ и $b = \log_3 y$. Уравнение принимает вид:
$2a^2 + ab - b^2 = 0$
Разложим левую часть на множители:
$2a^2 + 2ab - ab - b^2 = 0$
$2a(a+b) - b(a+b) = 0$
$(2a-b)(a+b) = 0$
Отсюда получаем два случая:
Случай 1: $2a - b = 0 \implies b = 2a$.
Возвращаясь к исходным переменным:
$\log_3 y = 2\log_3 x \implies \log_3 y = \log_3(x^2) \implies y = x^2$.
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$x(x^2) + \frac{x^2}{x^2} = 28$
$x^3 + 1 = 28$
$x^3 = 27$
$x = 3$.
Тогда $y = x^2 = 3^2 = 9$.
Получили решение $(3, 9)$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ: $x=3>0, y=9>0$. Удовлетворяет.
Случай 2: $a + b = 0 \implies b = -a$.
Возвращаясь к исходным переменным:
$\log_3 y = -\log_3 x \implies \log_3 y = \log_3(x^{-1}) \implies y = \frac{1}{x}$.
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$x\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{x^2}{\frac{1}{x}} = 28$
$1 + x^3 = 28$
$x^3 = 27$
$x=3$.
Тогда $y = \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$.
Получили решение $(3, 1/3)$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ: $x=3>0, y=1/3>0$. Удовлетворяет.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(3, 9), (3, 1/3)$.