Номер 314, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\log_2^2 x + \log_2 x - 2 \le 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Это неравенство является квадратным относительно $\log_2 x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство принимает вид:

$t^2 + t - 2 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$t_1 = -2$, $t_2 = 1$

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $t^2 + t - 2 \le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни. Таким образом:

$-2 \le t \le 1$

Теперь выполним обратную замену:

$-2 \le \log_2 x \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} \log_2 x \ge -2 \\ \log_2 x \le 1 \end{cases}$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при потенцировании знак неравенства сохраняется:

$\begin{cases} x \ge 2^{-2} \\ x \le 2^1 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge \frac{1}{4} \\ x \le 2 \end{cases}$

Объединяя полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем окончательный интервал.

Ответ: $[\frac{1}{4}; 2]$

2) $\log_{0.2}^2 x - 5\log_{0.2} x < -6$

Перенесем все члены в левую часть:

$\log_{0.2}^2 x - 5\log_{0.2} x + 6 < 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0.2} x$. Неравенство примет вид:

$t^2 - 5t + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$:

$t_1 = 2$, $t_2 = 3$

Парабола $y = t^2 - 5t + 6$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется строго между корнями:

$2 < t < 3$

Выполним обратную замену:

$2 < \log_{0.2} x < 3$

Основание логарифма $0.2 < 1$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При потенцировании знаки неравенства меняются на противоположные:

$0.2^3 < x < 0.2^2$

$0.008 < x < 0.04$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(0.008; 0.04)$

3) $\log_{0.1}^2 x + 3\log_{0.1} x > 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$\log_{0.1}^2 x + 3\log_{0.1} x - 4 > 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \log_{0.1} x$. Неравенство становится:

$t^2 + 3t - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 3t - 4 = 0$:

$t_1 = -4$, $t_2 = 1$

Парабола $y = t^2 + 3t - 4$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется за пределами корней:

$t < -4$ или $t > 1$

Это соответствует совокупности двух неравенств. Выполним обратную замену:

$\log_{0.1} x < -4$ или $\log_{0.1} x > 1$

Основание логарифма $0.1 < 1$, поэтому логарифмическая функция убывающая. При потенцировании знаки неравенств меняются:

Из $\log_{0.1} x < -4$ следует $x > 0.1^{-4}$, то есть $x > (10^{-1})^{-4}$, что дает $x > 10000$.

Из $\log_{0.1} x > 1$ следует $x < 0.1^1$, то есть $x < 0.1$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем два интервала: $x > 10000$ и $0 < x < 0.1$.

Ответ: $(0; 0.1) \cup (10000; +\infty)$

4) $2 - \lg^2 x \ge \lg x$

Перепишем неравенство в стандартном виде (перенеся все в правую часть):

$0 \ge \lg^2 x + \lg x - 2$

Что эквивалентно:

$\lg^2 x + \lg x - 2 \le 0$

ОДЗ: $x > 0$ (так как $\lg x = \log_{10} x$).

Сделаем замену $t = \lg x$:

$t^2 + t - 2 \le 0$

Это то же самое квадратное неравенство, что и в пункте 1. Его решение:

$-2 \le t \le 1$

Выполним обратную замену:

$-2 \le \lg x \le 1$

Основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция возрастающая, поэтому знаки неравенств сохраняются при потенцировании:

$10^{-2} \le x \le 10^1$

$0.01 \le x \le 10$

Решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $[0.01; 10]$