Номер 320, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Чтобы найти область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{2.1}\frac{3x-1}{5-x}} + \sqrt{x-4}$, необходимо, чтобы выражения под знаками квадратных корней были неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \log_{2.1}\frac{3x-1}{5-x} \ge 0 \\ x-4 \ge 0\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\log_{2.1}\frac{3x-1}{5-x} \ge 0$.
Так как основание логарифма $2.1 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Неравенство равносильно следующему (при этом также выполняется условие $\frac{3x-1}{5-x} > 0$, необходимое для существования логарифма):
$\frac{3x-1}{5-x} \ge 2.1^0 \implies \frac{3x-1}{5-x} \ge 1$
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{3x-1 - (5-x)}{5-x} \ge 0$
$\frac{4x-6}{5-x} \ge 0$
Решая это неравенство методом интервалов (нули числителя $x=1.5$, нуль знаменателя $x=5$), находим, что оно выполняется для $x \in [1.5; 5)$.

2. Решим второе неравенство: $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $[1.5; 5) \cap [4; \infty)$.
Общим решением системы является промежуток $[4; 5)$.

Ответ: $[4; 5)$.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{-x^2+3x-2} + \sqrt{\ln(x+x^2)}$ область определения находится из системы неравенств:

$\begin{cases} -x^2+3x-2 \ge 0 \\ \ln(x+x^2) \ge 0\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $-x^2+3x-2 \ge 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2-3x+2 \le 0$.
Корнями уравнения $x^2-3x+2=0$ являются $x_1=1$ и $x_2=2$.
Так как график функции $y=x^2-3x+2$ — это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [1; 2]$.

2. Решим второе неравенство: $\ln(x+x^2) \ge 0$.
Так как основание натурального логарифма $e \approx 2.718 > 1$, функция является возрастающей. Неравенство равносильно следующему (условие $x+x^2 > 0$ выполняется автоматически):
$x+x^2 \ge e^0 \implies x+x^2 \ge 1$
$x^2+x-1 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2+x-1=0$ с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4(1)(-1) = 5$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2+x-1 \ge 0$ выполняется для значений $x$ вне корней:
$x \in (-\infty; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[1; 2] \cap \left( (-\infty; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; \infty) \right)$.
Приближенное значение $\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1+2.24}{2} \approx 0.62$.
Так как $1 > \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, пересечением является интервал $[1; 2]$.

Ответ: $[1; 2]$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(3x-2)} + \sqrt[4]{x+1}$ область определения находится из системы неравенств, так как выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}(3x-2) \ge 0 \\ x+1 \ge 0\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\log_{\frac{1}{2}}(3x-2) \ge 0$.
Для существования логарифма его аргумент должен быть строго положителен: $3x-2 > 0$.
Так как основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$3x-2 \le (\frac{1}{2})^0 \implies 3x-2 \le 1$.
Получаем систему:
$\begin{cases} 3x-2 > 0 \\ 3x-2 \le 1\end{cases}\implies\begin{cases} 3x > 2 \\ 3x \le 3\end{cases}\implies\begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x \le 1\end{cases}$
Решением этой системы является полуинтервал $x \in (\frac{2}{3}; 1]$.

2. Решим второе неравенство: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

3. Найдем пересечение решений: $(\frac{2}{3}; 1] \cap [-1; \infty)$.
Общим решением системы является промежуток $(\frac{2}{3}; 1]$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; 1]$.