Номер 324, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим неравенство $log_{1-x}(2x+3) \ge 1$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $2x + 3 > 0 \implies 2x > -3 \implies x > -1.5$.
2. Основание логарифма должно быть положительным: $1 - x > 0 \implies x < 1$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $1 - x \ne 1 \implies x \ne 0$.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1.5, 0) \cup (0, 1)$.
Теперь решим само неравенство. Представим 1 как логарифм с тем же основанием:
$log_{1-x}(2x+3) \ge log_{1-x}(1-x)$.
Данное неравенство равносильно системе, которую можно решить методом рационализации. Неравенство вида $log_a f \ge log_a g$ равносильно неравенству $(a-1)(f-g) \ge 0$ на ОДЗ.
$((1-x) - 1)((2x+3) - (1-x)) \ge 0$
$(-x)(2x+3-1+x) \ge 0$
$(-x)(3x+2) \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x(3x+2) \le 0$
Корни левой части: $x=0$ и $x=-2/3$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она меньше или равна нулю между корнями: $x \in [-2/3, 0]$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (-1.5, 0) \cup (0, 1)$.
Точка $x=0$ не входит в ОДЗ, поэтому итоговое решение будет $x \in [-2/3, 0)$.
Ответ: $x \in [-2/3, 0)$.

2) Решим неравенство $log_{x-1}(x-8) \le 1$.
Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма: $x - 8 > 0 \implies x > 8$.
2. Основание логарифма: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.
3. Основание не равно 1: $x - 1 \ne 1 \implies x \ne 2$.
ОДЗ: $x \in (8, +\infty)$.
Перепишем неравенство, представив 1 в виде логарифма:
$log_{x-1}(x-8) \le log_{x-1}(x-1)$.
На ОДЗ основание $x-1 > 8-1 = 7$, то есть основание всегда больше 1. Значит, функция логарифма возрастающая, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$x-8 \le x-1$
$-8 \le -1$
Это неравенство верно для любого $x$. Следовательно, решением является вся область допустимых значений.
Ответ: $x \in (8, +\infty)$.

3) Решим неравенство $2log_{2x}(\sqrt{x+1}) < 0$.
Разделим обе части на 2: $log_{2x}(\sqrt{x+1}) < 0$.
Найдем ОДЗ:
1. Подрадикальное выражение: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Аргумент логарифма: $\sqrt{x+1} > 0 \implies x+1 > 0 \implies x > -1$.
3. Основание логарифма: $2x > 0 \implies x > 0$.
4. Основание не равно 1: $2x \ne 1 \implies x \ne 1/2$.
ОДЗ: $x \in (0, 1/2) \cup (1/2, +\infty)$.
Представим 0 как логарифм: $log_{2x}(\sqrt{x+1}) < log_{2x}(1)$.
Применим метод рационализации. Неравенство $log_a f < log_a g$ равносильно $(a-1)(f-g) < 0$ на ОДЗ.
$(2x-1)(\sqrt{x+1}-1) < 0$.
Рассмотрим знаки множителей на ОДЗ.
Для второго множителя $(\sqrt{x+1}-1)$: так как на ОДЗ $x>0$, то $x+1>1$, а значит $\sqrt{x+1}>1$. Следовательно, выражение $\sqrt{x+1}-1$ всегда положительно на ОДЗ.
Чтобы произведение было отрицательным, первый множитель должен быть отрицательным:
$2x-1 < 0 \implies 2x < 1 \implies x < 1/2$.
Пересекаем полученное условие $x < 1/2$ с ОДЗ $x \in (0, 1/2) \cup (1/2, +\infty)$.
Итоговое решение: $x \in (0, 1/2)$.
Ответ: $x \in (0, 1/2)$.

4) Решим неравенство $log_{3x}(2.5x + 1) \ge 0$.
Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма: $2.5x + 1 > 0 \implies 2.5x > -1 \implies x > -1/2.5 \implies x > -0.4$.
2. Основание логарифма: $3x > 0 \implies x > 0$.
3. Основание не равно 1: $3x \ne 1 \implies x \ne 1/3$.
ОДЗ: $x \in (0, 1/3) \cup (1/3, +\infty)$.
Представим 0 в виде логарифма: $log_{3x}(2.5x + 1) \ge log_{3x}(1)$.
Используем метод рационализации:
$(3x-1)((2.5x+1)-1) \ge 0$
$(3x-1)(2.5x) \ge 0$
Корни левой части: $x=0$ и $x=1/3$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [1/3, +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (0, 1/3) \cup (1/3, +\infty)$.
Пересечение с интервалом $(-\infty, 0]$ дает пустое множество.
Пересечение с интервалом $[1/3, +\infty)$ дает $(1/3, +\infty)$, так как точка $x=1/3$ не входит в ОДЗ.
Ответ: $x \in (1/3, +\infty)$.