Номер 2, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для решения данного показательного неравенства $0,25^{2+0,5x^2} > 32^x$ необходимо привести обе его части к одному основанию. В качестве общего основания выберем число 2.

Преобразуем основания степеней:

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

$32 = 2^5$

Теперь подставим эти выражения в исходное неравенство:

$(2^{-2})^{2+0,5x^2} > (2^5)^x$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим показатели степеней в обеих частях неравенства:

$2^{-2(2+0,5x^2)} > 2^{5x}$

$2^{-4-x^2} > 2^{5x}$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется:

$-4-x^2 > 5x$

Мы получили квадратное неравенство. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид:

$-x^2 - 5x - 4 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 + 5x + 4 < 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$.

Используем теорему Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = -5$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 4$.

Подбором находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 + 5x + 4 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть там, где парабола находится ниже оси Ox.

Таким образом, решением неравенства является интервал $x \in (-4; -1)$.

В задании требуется найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Целые числа, принадлежащие интервалу $(-4; -1)$, это -3 и -2.

Наибольшее из этих целых чисел — это -2.

Ответ: -2.