Номер 5, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства: $x^2 + x - 6 \ge 0$
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0).
Следовательно, неравенство $x^2 + x - 6 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.
Решением первого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.

Решение второго неравенства: $\log_4^2 x - \log_4 x - 6 < 0$
В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.
Введем замену переменной. Пусть $t = \log_4 x$. Неравенство принимает вид:
$t^2 - t - 6 < 0$
Это квадратное неравенство относительно $t$. Найдем корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
Парабола $y = t^2 - t - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 6 < 0$ выполняется для значений $t$, находящихся между корнями.
$-2 < t < 3$
Теперь выполним обратную замену:
$-2 < \log_4 x < 3$
Поскольку основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому, потенцируя двойное неравенство, получаем:
$4^{-2} < x < 4^3$
$\frac{1}{16} < x < 64$
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Решением второго неравенства является интервал: $x \in (\frac{1}{16}, 64)$.

Нахождение решения системы
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:
Решение 1: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$
Решение 2: $x \in (\frac{1}{16}, 64)$
Общее решение системы — это множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно.
Пересечение множеств $((-\infty, -3] \cup [2, +\infty))$ и $(\frac{1}{16}, 64)$ есть промежуток $[2, 64)$.

Ответ: $[2, 64)$