Номер 329, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Мәндес теңдеулер — бұл шешімдер жиыны бірдей болатын теңдеулер. Екі теңдеудің мәндес екенін анықтау үшін, олардың әрқайсысының шешімдерін тауып, шешімдер жиынын салыстыру керек.

1) $x^2 - 3 = 2x$ және $x^2 - 3 + \frac{1}{x+1} = 2x + \frac{1}{x+1}$

Алдымен бірінші теңдеуді шешеміз: $x^2 - 3 = 2x$.
Барлық мүшелерді теңдеудің сол жағына жинақтаймыз:
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Бұл квадраттық теңдеуді көбейткіштерге жіктеу арқылы шешуге болады:
$(x - 3)(x + 1) = 0$.
Бұдан теңдеудің екі түбірін табамыз: $x_1 = 3$ және $x_2 = -1$.
Сонымен, бірінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{-1, 3\}$.

Енді екінші теңдеуді қарастырамыз: $x^2 - 3 + \frac{1}{x+1} = 2x + \frac{1}{x+1}$.
Бұл теңдеудің мүмкін мәндер жиыны (ММЖ) анықталады, себебі бөлшектің бөлімі нөлге тең бола алмайды: $x+1 \neq 0$, яғни $x \neq -1$.
Теңдеудің екі жағынан да $\frac{1}{x+1}$ өрнегін алып тастасақ, бірінші теңдеуге ұқсас теңдеу аламыз:
$x^2 - 3 = 2x$, немесе $x^2 - 2x - 3 = 0$.
Бұл теңдеудің түбірлері, жоғарыда тапқанымыздай, $x=3$ және $x=-1$.
Алайда, бұл түбірлерді екінші теңдеудің ММЖ-мен ($x \neq -1$) салыстыруымыз керек. $x=3$ түбірі ММЖ-ны қанағаттандырады, ал $x=-1$ түбірі қанағаттандырмайды, сондықтан ол бөгде түбір болып табылады.
Демек, екінші теңдеудің тек бір ғана шешімі бар: $x = 3$.
Екінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{3\}$.

Бірінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{-1, 3\}$, ал екінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{3\}$. Бұл жиындар бірдей емес, сондықтан теңдеулер мәндес емес.

Ответ: Теңдеулер мәндес емес.

2) $\sqrt{(x-2)(x+3)} = 6$ және $\sqrt{x-2}\sqrt{x+3} = 6$

Алдымен бірінші теңдеуді қарастырамыз: $\sqrt{(x-2)(x+3)} = 6$.
Бұл теңдеудің ММЖ-ы түбір астындағы өрнектің теріс емес болуымен анықталады: $(x-2)(x+3) \ge 0$.
Бұл теңсіздіктің шешімі: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.
Теңдеуді шешу үшін екі жағын да квадраттаймыз:
$(x-2)(x+3) = 36$
$x^2 + 3x - 2x - 6 = 36$
$x^2 + x - 42 = 0$
Виет теоремасы бойынша түбірлер $x_1 = -7$ және $x_2 = 6$.
Екі түбір де ММЖ-ға ($x \le -3$ немесе $x \ge 2$) сәйкес келеді. Демек, бірінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{-7, 6\}$.

Енді екінші теңдеуді қарастырамыз: $\sqrt{x-2}\sqrt{x+3} = 6$.
Бұл теңдеудің ММЖ-ы екі түбір астындағы өрнектердің де теріс емес болуын талап етеді:
$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
және
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
Екі шарттың қиылысуы $x \ge 2$ шартын береді. Сонымен, екінші теңдеудің ММЖ-ы: $x \in [2, \infty)$.
Теңдеуді шешу үшін екі жағын да квадраттаймыз (немесе түбірлерді біріктіреміз, себебі ММЖ-да екі түбір асты да оң):
$(x-2)(x+3) = 36$
$x^2 + x - 42 = 0$
Бұл теңдеудің түбірлері $x_1 = -7$ және $x_2 = 6$.
Бұл түбірлерді екінші теңдеудің ММЖ-сымен ($x \ge 2$) тексереміз. $x_1 = -7$ түбірі ММЖ-ға жатпайды, сондықтан ол бөгде түбір. $x_2 = 6$ түбірі ММЖ-ны қанағаттандырады ($6 \ge 2$).
Демек, екінші теңдеудің бір ғана шешімі бар: $x=6$.
Екінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{6\}$.

Бірінші теңдеудің шешімдер жиыны $\{-7, 6\}$, ал екіншісінікі $\{6\}$. Шешімдер жиындары әртүрлі болғандықтан, бұл теңдеулер мәндес емес.

Ответ: Теңдеулер мәндес емес.