Номер 332, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим уравнение $\cos^2 x + 3\cos x = 0$ на отрезке $[0^\circ; 90^\circ]$.

Это уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos x + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

а) $\cos x = 0$

б) $\cos x + 3 = 0$, то есть $\cos x = -3$

Уравнение $\cos x = -3$ не имеет решений, так как область значений функции косинус есть отрезок $[-1; 1]$, и значение $-3$ в этот отрезок не входит.

Решим уравнение $\cos x = 0$. Общее решение этого уравнения имеет вид $x = 90^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0^\circ; 90^\circ]$.

Подставим $k=0$: $x = 90^\circ + 180^\circ \cdot 0 = 90^\circ$.

Значение $90^\circ$ принадлежит отрезку $[0^\circ; 90^\circ]$.

При $k=1$, $x = 90^\circ + 180^\circ = 270^\circ$, что не входит в заданный отрезок.

При $k=-1$, $x = 90^\circ - 180^\circ = -90^\circ$, что также не входит в заданный отрезок.

Следовательно, единственным решением на данном отрезке является $x=90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

2) Решим уравнение $\tg^2 x = \tg x$ на отрезке $[0^\circ; 45^\circ]$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$\tg^2 x - \tg x = 0$

Вынесем общий множитель $\tg x$ за скобки:

$\tg x (\tg x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

а) $\tg x = 0$

б) $\tg x - 1 = 0$, то есть $\tg x = 1$

Решим каждое из этих уравнений и найдем корни, принадлежащие отрезку $[0^\circ; 45^\circ]$.

Для уравнения $\tg x = 0$ общее решение имеет вид $x = 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При $k=0$ получаем $x=0^\circ$, что принадлежит отрезку $[0^\circ; 45^\circ]$. Другие целые значения $k$ дают корни за пределами этого отрезка.

Для уравнения $\tg x = 1$ общее решение имеет вид $x = 45^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При $k=0$ получаем $x=45^\circ$, что принадлежит отрезку $[0^\circ; 45^\circ]$. Другие целые значения $k$ дают корни за пределами этого отрезка.

Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет два корня.

Ответ: $0^\circ, 45^\circ$