Номер 331, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x+56}{9x^2-16} + \frac{1}{8-6x} = \frac{18}{3x^2+4x} $.

Сначала разложим знаменатели дробей на множители, чтобы найти общий знаменатель.

Знаменатель первой дроби: $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x-4)(3x+4)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $8 - 6x = 2(4 - 3x) = -2(3x - 4)$.

Знаменатель третьей дроби: $3x^2 + 4x = x(3x+4)$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$ \frac{x+56}{(3x-4)(3x+4)} + \frac{1}{-2(3x-4)} = \frac{18}{x(3x+4)} $

$ \frac{x+56}{(3x-4)(3x+4)} - \frac{1}{2(3x-4)} = \frac{18}{x(3x+4)} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$3x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{4}{3}$
$3x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{4}{3}$
$x \neq 0$

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq -\frac{4}{3}, x \neq 0, x \neq \frac{4}{3} $.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей: $2x(3x-4)(3x+4)$.

Умножим обе части уравнения на НОЗ, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $x$ входит в ОДЗ:

$ (x+56) \cdot 2x - 1 \cdot x(3x+4) = 18 \cdot 2(3x-4) $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 2x^2 + 112x - (3x^2 + 4x) = 36(3x-4) $

$ 2x^2 + 112x - 3x^2 - 4x = 108x - 144 $

$ -x^2 + 108x = 108x - 144 $

Вычтем $108x$ из обеих частей уравнения:

$ -x^2 = -144 $

$ x^2 = 144 $

Отсюда получаем два корня:

$ x_1 = \sqrt{144} = 12 $

$ x_2 = -\sqrt{144} = -12 $

Проверим, входят ли полученные корни в ОДЗ. Оба корня ($12$ и $-12$) не совпадают с исключенными значениями ($-\frac{4}{3}, 0, \frac{4}{3}$). Следовательно, оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $x = -12, x = 12$.

2)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x^2+10x+25} - \sqrt{x^2-8x+16} = 5 $.

Заметим, что выражения под корнями являются полными квадратами (квадратами двучленов):

$x^2+10x+25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x+5)^2$

$x^2-8x+16 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x-4)^2$

Подставим эти выражения в уравнение:

$ \sqrt{(x+5)^2} - \sqrt{(x-4)^2} = 5 $

Используем свойство квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $. Уравнение принимает вид:

$ |x+5| - |x-4| = 5 $

Для решения уравнения с модулями рассмотрим несколько случаев, раскрывая модули на разных интервалах. Нули подмодульных выражений: $x+5=0 \Rightarrow x = -5$ и $x-4=0 \Rightarrow x = 4$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала.

Случай 1: $x < -5$

В этом интервале оба выражения под модулем отрицательны: $x+5 < 0$ и $x-4 < 0$. Следовательно, $|x+5| = -(x+5)$ и $|x-4| = -(x-4)$.

Уравнение становится:

$ -(x+5) - (-(x-4)) = 5 $

$ -x - 5 + x - 4 = 5 $

$ -9 = 5 $

Получили неверное равенство, значит, в этом интервале решений нет.

Случай 2: $-5 \le x < 4$

В этом интервале $x+5 \ge 0$, а $x-4 < 0$. Следовательно, $|x+5| = x+5$ и $|x-4| = -(x-4)$.

Уравнение становится:

$ (x+5) - (-(x-4)) = 5 $

$ x+5 + x - 4 = 5 $

$ 2x + 1 = 5 $

$ 2x = 4 $

$ x = 2 $

Корень $x=2$ принадлежит рассматриваемому интервалу $[-5, 4)$, следовательно, является решением.

Случай 3: $x \ge 4$

В этом интервале оба выражения под модулем неотрицательны: $x+5 > 0$ и $x-4 \ge 0$. Следовательно, $|x+5| = x+5$ и $|x-4| = x-4$.

Уравнение становится:

$ (x+5) - (x-4) = 5 $

$ x+5 - x + 4 = 5 $

$ 9 = 5 $

Получили неверное равенство, значит, в этом интервале решений нет.

Единственное решение, полученное при рассмотрении всех случаев, это $x=2$.

Ответ: $x = 2$.