Номер 333, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $7^{2x} - 6 \cdot 7^x + 5 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $7^{2x}$ можно представить как $(7^x)^2$ согласно свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$.
Уравнение принимает вид:
$(7^x)^2 - 6 \cdot 7^x + 5 = 0$
Это уравнение является квадратным относительно выражения $7^x$. Для его решения введем новую переменную.
Пусть $t = 7^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.
Подставив $t$ в уравнение, получим стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - 6t + 5 = 0$
Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$
Оба корня ($t_1 = 1$ и $t_2 = 5$) положительны, следовательно, удовлетворяют условию $t > 0$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.
Для первого корня $t_1 = 1$:
$7^x = 1$
$7^x = 7^0$
$x_1 = 0$
Для второго корня $t_2 = 5$:
$7^x = 5$
По определению логарифма, $x_2 = \log_7 5$.
Ответ: $0; \log_7 5$.

2) $3^{x+1} + \frac{18}{3^x} = 29$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$3^x \cdot 3^1 + \frac{18}{3^x} = 29$
$3 \cdot 3^x + \frac{18}{3^x} = 29$
Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
После замены уравнение принимает вид:
$3t + \frac{18}{t} = 29$
Умножим обе части уравнения на $t$ (это возможно, так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:
$3t^2 + 18 = 29t$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$3t^2 - 29t + 18 = 0$
Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 841 - 216 = 625$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - \sqrt{625}}{2 \cdot 3} = \frac{29 - 25}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + \sqrt{625}}{2 \cdot 3} = \frac{29 + 25}{6} = \frac{54}{6} = 9$
Оба корня ($t_1 = \frac{2}{3}$ и $t_2 = 9$) положительны и удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену.
Для первого корня $t_1 = \frac{2}{3}$:
$3^x = \frac{2}{3}$
Прологарифмировав обе части по основанию 3, получим:
$x_1 = \log_3\left(\frac{2}{3}\right) = \log_3 2 - \log_3 3 = \log_3 2 - 1$
Для второго корня $t_2 = 9$:
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x_2 = 2$
Ответ: $\log_3 2 - 1; 2$.