Номер 4, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для решения данной системы уравнений $ \begin{cases} 3^y = 27^x \\ \log_2(y - x^2) = 1 \end{cases} $ выполним следующие преобразования.
Сначала упростим первое уравнение. Поскольку $27$ это $3^3$, мы можем переписать уравнение как $3^y = (3^3)^x$. Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $3^y = 3^{3x}$. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $y = 3x$.
Теперь преобразуем второе уравнение. По определению логарифма, уравнение $\log_2(y - x^2) = 1$ эквивалентно уравнению $y - x^2 = 2^1$, что упрощается до $y - x^2 = 2$.
В результате мы получаем новую, более простую систему уравнений:$ \begin{cases} y = 3x \\ y - x^2 = 2 \end{cases} $
Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$3x - x^2 = 2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 - 3x + 2 = 0$
Это уравнение можно решить, разложив его на множители. Найдем два числа, произведение которых равно $2$, а сумма равна $-3$. Этими числами являются $-1$ и $-2$. Таким образом, уравнение можно записать в виде:$(x - 1)(x - 2) = 0$
Из этого уравнения мы находим два возможных значения для $x$:$x_1 = 1$$x_2 = 2$
Далее, найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ с помощью уравнения $y = 3x$.
При $x_1 = 1$:$y_1 = 3 \cdot 1 = 3$Таким образом, первая пара решений — $(1; 3)$.
При $x_2 = 2$:$y_2 = 3 \cdot 2 = 6$Таким образом, вторая пара решений — $(2; 6)$.
Наконец, необходимо проверить, что найденные решения удовлетворяют области допустимых значений исходной системы. В частности, аргумент логарифма должен быть положительным: $y - x^2 > 0$.
Для пары $(1; 3)$: $3 - 1^2 = 3 - 1 = 2$. Поскольку $2 > 0$, это решение является действительным.
Для пары $(2; 6)$: $6 - 2^2 = 6 - 4 = 2$. Поскольку $2 > 0$, это решение также является действительным.
Таким образом, система уравнений имеет два решения: $(1; 3)$ и $(2; 6)$.
Ответ: D. (1; 3), (2; 6).