Номер 327, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Найдем область определения функции $f(x) = \frac{15+x^2}{\sqrt{\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) - 1}}$.

Область определения функции (ОДЗ) находится из условий, что:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $5x - x^2 > 0$.

2. Выражение под знаком квадратного корня, находящегося в знаменателе, должно быть строго положительным: $\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) - 1 > 0$.

Объединим эти условия в систему:

$\begin{cases} 5x - x^2 > 0 \\ \log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) - 1 > 0 \end{cases}$

Заметим, что если выполнено второе неравенство, то первое также будет выполнено, так как если $\log_{\frac{1}{4}}(A) > 1$, то $A$ должно быть положительным. Однако, для полноты решения решим оба неравенства.

Решим первое неравенство: $5x - x^2 > 0 \iff x(5-x) > 0$.

Корнями уравнения $x(5-x)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=5$. Графиком функции $y=5x-x^2$ является парабола с ветвями вниз, поэтому неравенство $>0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (0, 5)$.

Решим второе неравенство: $\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) > 1$.

Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $1 = \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})$.

Получаем неравенство: $\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) > \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})$.

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{4}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$5x - x^2 < \frac{1}{4}$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство: $x^2 - 5x + \frac{1}{4} > 0$.

Для удобства умножим обе части на 4: $4x^2 - 20x + 1 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 20x + 1 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 400 - 16 = 384$.

$\sqrt{D} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm 8\sqrt{6}}{8} = \frac{5 \pm 2\sqrt{6}}{2}$.

Так как графиком функции $y=4x^2 - 20x + 1$ является парабола с ветвями вверх, неравенство $>0$ выполняется за пределами корней:

$x \in (-\infty, \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: $x \in (0, 5)$ и $x \in (-\infty, \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}, +\infty)$.

Оценим положение корней на числовой оси. Так как $2.4 < \sqrt{6} < 2.5$, то $4.8 < 2\sqrt{6} < 5$.

$x_1 = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}$: $0 < 5 - 2\sqrt{6} < 0.2$, следовательно $0 < x_1 < 0.1$.

$x_2 = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}$: $9.8 < 5 + 2\sqrt{6} < 10$, следовательно $4.9 < x_2 < 5$.

Оба корня лежат внутри интервала $(0, 5)$.

Таким образом, пересечение множеств дает нам область определения:

$(0, \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}, 5)$.

Ответ: $x \in (0, \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}, 5)$.

2)

Найдем область определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{17 - 15x - 2x^2}}{\log_x(x+3)}$.

Область определения функции (ОДЗ) определяется следующей системой условий:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $17 - 15x - 2x^2 \ge 0$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_x(x+3) \neq 0$.

3. Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $x+3 > 0$.

4. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} 17 - 15x - 2x^2 \ge 0 \\ \log_x(x+3) \neq 0 \\ x+3 > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Решим каждое условие по отдельности.

1. Решим неравенство $17 - 15x - 2x^2 \ge 0$. Умножим его на -1, изменив знак неравенства: $2x^2 + 15x - 17 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 15x - 17 = 0$. Так как сумма коэффициентов $2+15-17=0$, то один из корней $x_1 = 1$. Второй корень, согласно теореме Виета, равен $x_2 = c/a = -17/2 = -8.5$.

Графиком функции $y = 2x^2 + 15x - 17$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-8.5, 1]$.

2. Решим условие $\log_x(x+3) \neq 0$. Это эквивалентно тому, что $x+3 \neq x^0$, то есть $x+3 \neq 1$, откуда получаем $x \neq -2$.

3. Решим неравенство $x+3 > 0$, откуда следует $x > -3$.

4. Условие на основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Теперь объединим все условия и найдем их пересечение. Условия $x > -3$, $x > 0$ и $x \neq 1$ можно объединить в одно: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Условие $x \neq -2$ выполняется автоматически для $x > 0$.

Остается найти пересечение множеств $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ и $x \in [-8.5, 1]$.

Пересечение множества $(0, 1) \cup (1, \infty)$ с отрезком $[-8.5, 1]$ дает в результате интервал $(0, 1)$.

Таким образом, область определения исходной функции - это интервал $(0, 1)$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.