Номер 322, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $log_{0,1}(x - 2) - lg(x) > log_{0,1}(3)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
$x > 0$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x > 2$.

Теперь приведем все логарифмы к одному основанию $0,1$.
Используем формулу перехода к другому основанию: $lg(x) = log_{10}(x)$.
Так как $0,1 = 10^{-1}$, то $log_{0,1}(x) = log_{10^{-1}}(x) = -log_{10}(x) = -lg(x)$.
Отсюда $lg(x) = -log_{0,1}(x)$.
Подставим это в неравенство:
$log_{0,1}(x - 2) - (-log_{0,1}(x)) > log_{0,1}(3)$
$log_{0,1}(x - 2) + log_{0,1}(x) > log_{0,1}(3)$

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$:
$log_{0,1}(x(x - 2)) > log_{0,1}(3)$

Так как основание логарифма $a = 0,1$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$x(x - 2) < 3$
$x^2 - 2x - 3 < 0$

Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-1; 3)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 2$):
$(-1; 3) \cap (2; +\infty) = (2; 3)$.

Решением неравенства является интервал $(2; 3)$. Выберем два значения $x$ из этого интервала.
Ответ: Решение: $x \in (2; 3)$. Примеры значений: $x_1 = 2,1$, $x_2 = 2,5$.

2) $log_{0,5}(x) - log_2(x - 3) < log_{0,5}(4)$

Найдем ОДЗ:
$x > 0$
$x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$
ОДЗ: $x > 3$.

Приведем логарифмы к основанию 2. Используем свойство $log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}log_a(b)$.
$log_{0,5}(x) = log_{1/2}(x) = log_{2^{-1}}(x) = -log_2(x)$.
$log_{0,5}(4) = log_{1/2}(4) = -log_2(4) = -2$.
Подставим в неравенство:
$-log_2(x) - log_2(x - 3) < -2$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$log_2(x) + log_2(x - 3) > 2$

Используем свойство суммы логарифмов:
$log_2(x(x - 3)) > 2$

Так как основание логарифма $a = 2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x(x - 3) > 2^2$
$x^2 - 3x > 4$
$x^2 - 3x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.
Парабола ветвями вверх, значит, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

Пересекаем с ОДЗ ($x > 3$):
$((-\infty; -1) \cup (4; +\infty)) \cap (3; +\infty) = (4; +\infty)$.

Решением является интервал $(4; +\infty)$. Выберем два значения $x$ из этого интервала.
Ответ: Решение: $x \in (4; +\infty)$. Примеры значений: $x_1 = 5$, $x_2 = 10$.

3) $log_{0,2}(x) - log_5(x - 2) < log_{0,2}(3)$

Найдем ОДЗ:
$x > 0$
$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
ОДЗ: $x > 2$.

Приведем логарифмы к основанию 5.
$log_{0,2}(x) = log_{1/5}(x) = log_{5^{-1}}(x) = -log_5(x)$.
$log_{0,2}(3) = log_{1/5}(3) = -log_5(3)$.
Подставим в неравенство:
$-log_5(x) - log_5(x - 2) < -log_5(3)$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$log_5(x) + log_5(x - 2) > log_5(3)$

Используем свойство суммы логарифмов:
$log_5(x(x - 2)) > log_5(3)$

Основание $a = 5 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x(x - 2) > 3$
$x^2 - 2x - 3 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Пересекаем с ОДЗ ($x > 2$):
$((-\infty; -1) \cup (3; +\infty)) \cap (2; +\infty) = (3; +\infty)$.

Решением является интервал $(3; +\infty)$. Выберем два значения $x$ из этого интервала.
Ответ: Решение: $x \in (3; +\infty)$. Примеры значений: $x_1 = 4$, $x_2 = 100$.

4) $lg(x) - log_{0,1}(x - 1) > log_{0,1}(0,5)$

Найдем ОДЗ:
$x > 0$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
ОДЗ: $x > 1$.

Приведем логарифмы к основанию 10 (десятичный логарифм $lg$).
$log_{0,1}(t) = log_{10^{-1}}(t) = -log_{10}(t) = -lg(t)$.
Подставим в неравенство:
$lg(x) - (-lg(x - 1)) > -lg(0,5)$
$lg(x) + lg(x - 1) > -lg(0,5)$

Используем свойство $-log_a(b) = log_a(b^{-1})$:
$lg(x) + lg(x - 1) > lg(0,5^{-1})$
$lg(x) + lg(x - 1) > lg(2)$

Используем свойство суммы логарифмов:
$lg(x(x - 1)) > lg(2)$

Основание $a = 10 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x(x - 1) > 2$
$x^2 - x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Пересекаем с ОДЗ ($x > 1$):
$((-\infty; -1) \cup (2; +\infty)) \cap (1; +\infty) = (2; +\infty)$.

Решением является интервал $(2; +\infty)$. Выберем два значения $x$ из этого интервала.
Ответ: Решение: $x \in (2; +\infty)$. Примеры значений: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.