Номер 316, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1}}$.

Область определения функции находится из условия, что выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — строго положительным.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge 0 \\ \frac{2x}{x-1} > 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge 0$.

Представим 0 как логарифм с основанием $\frac{1}{2}$: $0 = \log_{\frac{1}{2}} 1$.

Получим: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge \log_{\frac{1}{2}} 1$.

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{2x}{x-1} \le 1$.

Таким образом, исходную систему можно записать как одно двойное неравенство, так как из условия $\frac{2x}{x-1} \le 1$ и $\frac{2x}{x-1} > 0$ следует, что мы ищем значения $x$, для которых $0 < \frac{2x}{x-1} \le 1$.

Решим систему из двух неравенств:

1. $\frac{2x}{x-1} > 0$

Методом интервалов находим нули числителя ($x=0$) и знаменателя ($x=1$). Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Проверяя знак дроби в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

2. $\frac{2x}{x-1} \le 1$

Переносим 1 в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$\frac{2x}{x-1} - 1 \le 0$

$\frac{2x - (x-1)}{x-1} \le 0$

$\frac{x+1}{x-1} \le 0$

Методом интервалов находим нули числителя ($x=-1$) и знаменателя ($x=1$). Точка $x=-1$ включается в решение, а $x=1$ исключается. Интервалы: $(-\infty, -1]$, $[-1, 1)$, $(1, \infty)$. Неравенство выполняется на интервале $x \in [-1, 1)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ и $[-1, 1)$.

Пересечением этих множеств является интервал $[-1, 0)$.

Ответ: $D(f) = [-1, 0)$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{\log_3 \frac{x-1}{x+5}}$.

Область определения функции определяется условием неотрицательности выражения под корнем:

$\log_3 \frac{x-1}{x+5} \ge 0$.

Представим 0 как логарифм с основанием 3: $0 = \log_3 1$.

$\log_3 \frac{x-1}{x+5} \ge \log_3 1$.

Так как основание логарифма 3 больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$\frac{x-1}{x+5} \ge 1$.

Это условие гарантирует, что аргумент логарифма $\frac{x-1}{x+5}$ будет не только положительным, но и не меньше 1, поэтому дополнительно проверять условие $\frac{x-1}{x+5} > 0$ не нужно.

Решим полученное неравенство:

$\frac{x-1}{x+5} - 1 \ge 0$

$\frac{x-1 - (x+5)}{x+5} \ge 0$

$\frac{x-1-x-5}{x+5} \ge 0$

$\frac{-6}{x+5} \ge 0$

Числитель дроби (-6) — отрицательное число. Чтобы вся дробь была положительной, знаменатель также должен быть отрицательным. Равенство нулю невозможно, так как числитель не равен нулю.

Следовательно, $x+5 < 0$.

$x < -5$.

Таким образом, область определения функции — это интервал $(-\infty, -5)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -5)$.