Страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1}}$.

Область определения функции находится из условия, что выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — строго положительным.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge 0 \\ \frac{2x}{x-1} > 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge 0$.

Представим 0 как логарифм с основанием $\frac{1}{2}$: $0 = \log_{\frac{1}{2}} 1$.

Получим: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge \log_{\frac{1}{2}} 1$.

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{2x}{x-1} \le 1$.

Таким образом, исходную систему можно записать как одно двойное неравенство, так как из условия $\frac{2x}{x-1} \le 1$ и $\frac{2x}{x-1} > 0$ следует, что мы ищем значения $x$, для которых $0 < \frac{2x}{x-1} \le 1$.

Решим систему из двух неравенств:

1. $\frac{2x}{x-1} > 0$

Методом интервалов находим нули числителя ($x=0$) и знаменателя ($x=1$). Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Проверяя знак дроби в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

2. $\frac{2x}{x-1} \le 1$

Переносим 1 в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$\frac{2x}{x-1} - 1 \le 0$

$\frac{2x - (x-1)}{x-1} \le 0$

$\frac{x+1}{x-1} \le 0$

Методом интервалов находим нули числителя ($x=-1$) и знаменателя ($x=1$). Точка $x=-1$ включается в решение, а $x=1$ исключается. Интервалы: $(-\infty, -1]$, $[-1, 1)$, $(1, \infty)$. Неравенство выполняется на интервале $x \in [-1, 1)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ и $[-1, 1)$.

Пересечением этих множеств является интервал $[-1, 0)$.

Ответ: $D(f) = [-1, 0)$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{\log_3 \frac{x-1}{x+5}}$.

Область определения функции определяется условием неотрицательности выражения под корнем:

$\log_3 \frac{x-1}{x+5} \ge 0$.

Представим 0 как логарифм с основанием 3: $0 = \log_3 1$.

$\log_3 \frac{x-1}{x+5} \ge \log_3 1$.

Так как основание логарифма 3 больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$\frac{x-1}{x+5} \ge 1$.

Это условие гарантирует, что аргумент логарифма $\frac{x-1}{x+5}$ будет не только положительным, но и не меньше 1, поэтому дополнительно проверять условие $\frac{x-1}{x+5} > 0$ не нужно.

Решим полученное неравенство:

$\frac{x-1}{x+5} - 1 \ge 0$

$\frac{x-1 - (x+5)}{x+5} \ge 0$

$\frac{x-1-x-5}{x+5} \ge 0$

$\frac{-6}{x+5} \ge 0$

Числитель дроби (-6) — отрицательное число. Чтобы вся дробь была положительной, знаменатель также должен быть отрицательным. Равенство нулю невозможно, так как числитель не равен нулю.

Следовательно, $x+5 < 0$.

$x < -5$.

Таким образом, область определения функции — это интервал $(-\infty, -5)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -5)$.

317.1)

Дано логарифмическое неравенство $lg(x^2 + 2x + 2) < 1$.

По определению десятичного логарифма, основание равно 10. Неравенство можно переписать как $\log_{10}(x^2 + 2x + 2) < 1$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 + 2x + 2 > 0$

Для анализа квадратного трехчлена $y = x^2 + 2x + 2$ найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), парабола не пересекает ось абсцисс и ее ветви направлены вверх. Это означает, что выражение $x^2 + 2x + 2$ положительно при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

2. Решение неравенства. Так как основание логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при потенцировании знак неравенства сохраняется.

$\log_{10}(x^2 + 2x + 2) < 1$

Воспользуемся свойством логарифмов: $x^2 + 2x + 2 < 10^1$.

$x^2 + 2x + 2 < 10$

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Так как парабола $y = x^2 + 2x - 8$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение этого неравенства: $-4 < x < 2$, или $x \in (-4, 2)$.

3. Совмещение с ОДЗ. Поскольку ОДЗ — это все действительные числа, итоговое решение совпадает с решением, полученным на втором шаге.

Ответ: $x \in (-4, 2)$.

2)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > -2$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.

2. Решение неравенства. Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $0 < a < 1$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей, и при потенцировании знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > -2$

$x^2 - x - 2 < (\frac{1}{2})^{-2}$

$x^2 - x - 2 < 2^2$

$x^2 - x - 2 < 4$

$x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение этого неравенства: $-2 < x < 3$, или $x \in (-2, 3)$.

3. Совмещение с ОДЗ. Необходимо найти пересечение двух множеств: ОДЗ $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$ и решения неравенства $x \in (-2, 3)$.

Пересекая эти множества, получаем: $x \in (-2, -1) \cup (2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (2, 3)$.

3)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < -1$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 + 3x - 1 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Парабола $y = x^2 + 3x - 1$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}, +\infty)$.

2. Решение неравенства. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $0 < a < 1$. Логарифмическая функция является убывающей, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.

$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < -1$

$x^2 + 3x - 1 > (\frac{1}{3})^{-1}$

$x^2 + 3x - 1 > 3$

$x^2 + 3x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 3x - 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$.

3. Совмещение с ОДЗ. Сравним значения корней. Оценим $\sqrt{13}$: $3^2=9$, $4^2=16$, значит $3 < \sqrt{13} < 4$.

$\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-3 - 3.6}{2} = -3.3$. Так как $-4 < -3.3$, то $-4 < \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$.

$\frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-3 + 3.6}{2} = 0.3$. Так как $1 > 0.3$, то $1 > \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$.

Интервалы ОДЗ: $(-\infty, \approx -3.3) \cup (\approx 0.3, +\infty)$.

Интервалы решения: $(-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$.

Пересечение этих множеств дает $x \in (-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$.

4)

Дано логарифмическое неравенство $\log_2(x^2 + 10) < 4$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 + 10 > 0$

Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 10 \ge 10$. Таким образом, выражение $x^2 + 10$ всегда положительно.

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

2. Решение неравенства. Основание логарифма $a = 2 > 1$. Логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.

$\log_2(x^2 + 10) < 4$

$x^2 + 10 < 2^4$

$x^2 + 10 < 16$

$x^2 - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6 = 0$: $x^2 = 6$, откуда $x_1 = -\sqrt{6}$ и $x_2 = \sqrt{6}$.

Парабола $y = x^2 - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение этого неравенства: $-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$, или $x \in (-\sqrt{6}, \sqrt{6})$.

3. Совмещение с ОДЗ. Поскольку ОДЗ — это все действительные числа, итоговое решение совпадает с решением, полученным на втором шаге.

Ответ: $x \in (-\sqrt{6}, \sqrt{6})$.

1) $2^{\log_3 \frac{x-1}{3x+3}} \le \frac{1}{4}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$\frac{x-1}{3x+3} > 0$
$\frac{x-1}{3(x+1)} > 0$
Решая это неравенство методом интервалов, находим нули числителя ($x=1$) и знаменателя ($x=-1$). Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Проверяя знак дроби в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.
Теперь решим исходное неравенство. Представим правую часть в виде степени с основанием 2:
$\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$
Получаем неравенство:
$2^{\log_3 \frac{x-1}{3x+3}} \le 2^{-2}$
Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$\log_3 \frac{x-1}{3x+3} \le -2$
Представим число -2 в виде логарифма по основанию 3:
$-2 = -2 \cdot \log_3 3 = \log_3 3^{-2} = \log_3 \frac{1}{9}$
Неравенство принимает вид:
$\log_3 \frac{x-1}{3x+3} \le \log_3 \frac{1}{9}$
Поскольку основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция $y=\log_3 t$ является возрастающей. Переходим к неравенству для аргументов, сохраняя знак:
$\frac{x-1}{3x+3} \le \frac{1}{9}$
С учетом ОДЗ, мы должны решить систему неравенств:
$ \begin{cases} \frac{x-1}{3x+3} > 0 \\ \frac{x-1}{3x+3} \le \frac{1}{9} \end{cases} $
Это эквивалентно двойному неравенству $0 < \frac{x-1}{3x+3} \le \frac{1}{9}$.
Решим второе неравенство: $\frac{x-1}{3(x+1)} - \frac{1}{9} \le 0$
$\frac{3(x-1) - 1(x+1)}{9(x+1)} \le 0$
$\frac{3x - 3 - x - 1}{9(x+1)} \le 0$
$\frac{2x - 4}{9(x+1)} \le 0$
$\frac{2(x-2)}{9(x+1)} \le 0$
Методом интервалов находим, что это неравенство верно для $x \in (-1, 2]$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in (-1, 2] \cap ((-\infty, -1) \cup (1, +\infty))$.
Пересечением является интервал $(1, 2]$.
Ответ: $x \in (1, 2]$.

2) $3^{\log_2 \frac{x-1}{x+1}} < \frac{1}{9}$

Найдем ОДЗ:
$\frac{x-1}{x+1} > 0$
Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.
Решим неравенство. Представим правую часть как степень с основанием 3:
$\frac{1}{9} = 3^{-2}$
$3^{\log_2 \frac{x-1}{x+1}} < 3^{-2}$
Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей:
$\log_2 \frac{x-1}{x+1} < -2$
Представим -2 как логарифм по основанию 2:
$-2 = \log_2 2^{-2} = \log_2 \frac{1}{4}$
$\log_2 \frac{x-1}{x+1} < \log_2 \frac{1}{4}$
Так как основание логарифма $2 > 1$, переходим к неравенству для аргументов:
$\frac{x-1}{x+1} < \frac{1}{4}$
С учетом ОДЗ, решаем систему $0 < \frac{x-1}{x+1} < \frac{1}{4}$.
Решим правую часть: $\frac{x-1}{x+1} - \frac{1}{4} < 0$
$\frac{4(x-1) - (x+1)}{4(x+1)} < 0$
$\frac{4x - 4 - x - 1}{4(x+1)} < 0$
$\frac{3x-5}{4(x+1)} < 0$
Методом интервалов получаем $x \in (-1, \frac{5}{3})$.
Найдем пересечение с ОДЗ: $x \in (-1, \frac{5}{3}) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, +\infty))$.
Пересечение: $x \in (1, \frac{5}{3})$.
Ответ: $x \in (1, \frac{5}{3})$.

3) $(5x+1)\lg(4-x) \le 0$

Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.
$4-x > 0 \implies x < 4$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 4)$.
Решим неравенство методом интервалов. Произведение двух множителей неположительно, если они имеют разные знаки или один из них равен нулю. Найдем корни каждого множителя:
1) $5x+1=0 \implies x = -1/5 = -0.2$.
2) $\lg(4-x)=0 \implies 4-x=10^0=1 \implies x=3$.
Отметим точки $x=-0.2$ и $x=3$ на числовой прямой, учитывая ОДЗ $x<4$. Получим интервалы: $(-\infty, -0.2]$, $[-0.2, 3]$ и $[3, 4)$.
- При $x \in (3, 4)$, например $x=3.5$: $5x+1 > 0$, $4-x < 1 \implies \lg(4-x) < 0$. Произведение $(+) \cdot (-) = (-)$, что удовлетворяет неравенству $\le 0$.
- При $x \in (-0.2, 3)$, например $x=0$: $5x+1 > 0$, $4-x > 1 \implies \lg(4-x) > 0$. Произведение $(+) \cdot (+) = (+)$, что не удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-\infty, -0.2)$, например $x=-1$: $5x+1 < 0$, $4-x > 1 \implies \lg(4-x) > 0$. Произведение $(-) \cdot (+) = (-)$, что удовлетворяет неравенству.
Точки, где множители равны нулю ($x=-0.2$ и $x=3$), также включаются в решение.
Объединяя подходящие интервалы и точки, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -1/5] \cup [3, 4)$.

4) $(3-x)\lg(2x-1) \ge 0$

Найдем ОДЗ:
$2x-1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 1/2$.
ОДЗ: $x \in (1/2, +\infty)$.
Решим неравенство методом интервалов. Произведение неотрицательно, если множители одного знака или один из них равен нулю. Найдем корни множителей:
1) $3-x=0 \implies x=3$.
2) $\lg(2x-1)=0 \implies 2x-1=1 \implies 2x=2 \implies x=1$.
Отметим точки $x=1$ и $x=3$ на числовой прямой в пределах ОДЗ $x > 1/2$. Получим интервалы: $(1/2, 1]$, $[1, 3]$ и $[3, +\infty)$.
- При $x \in (3, +\infty)$, например $x=4$: $3-x < 0$, $2x-1 > 1 \implies \lg(2x-1) > 0$. Произведение $(-) \cdot (+) = (-)$, не удовлетворяет неравенству $\ge 0$.
- При $x \in (1, 3)$, например $x=2$: $3-x > 0$, $2x-1 > 1 \implies \lg(2x-1) > 0$. Произведение $(+) \cdot (+) = (+)$, удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (1/2, 1)$, например $x=0.6$: $3-x > 0$, $0 < 2x-1 < 1 \implies \lg(2x-1) < 0$. Произведение $(+) \cdot (-) = (-)$, не удовлетворяет неравенству.
Точки, где множители равны нулю ($x=1$ и $x=3$), включаются в решение.
Объединяя интервал и точки, получаем решение.
Ответ: $x \in [1, 3]$.

1) Исходное неравенство: $log_{\frac{1}{6}}(log_2 \sqrt{6-x}) > 0$.
Так как основание внешнего логарифма $\frac{1}{6} < 1$, при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем двойное неравенство:
$0 < log_2 \sqrt{6-x} < (\frac{1}{6})^0$
$0 < log_2 \sqrt{6-x} < 1$
Это неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} log_2 \sqrt{6-x} > 0 \\ log_2 \sqrt{6-x} < 1 \end{cases} $
Решим первое неравенство. Так как основание $2 > 1$, знак не меняется:
$log_2 \sqrt{6-x} > log_2 1$
$\sqrt{6-x} > 1$
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$6-x > 1$
$5 > x$, или $x < 5$.
Решим второе неравенство. Так как основание $2 > 1$, знак не меняется:
$log_2 \sqrt{6-x} < log_2 2$
$\sqrt{6-x} < 2$
Область допустимых значений для этого неравенства определяется условием $6-x \geq 0$, то есть $x \leq 6$. На этой области можно возвести в квадрат:
$6-x < 4$
$2 < x$, или $x > 2$.
Область определения исходного неравенства задается условием $log_2 \sqrt{6-x} > 0$. Решение этого неравенства, $x < 5$, уже включает в себя все остальные ограничения ОДЗ ($\sqrt{6-x} > 0 \Rightarrow 6-x > 0 \Rightarrow x < 6$).
Объединяем решения системы:
$ \begin{cases} x < 5 \\ x > 2 \end{cases} $
Пересечением этих интервалов является $2 < x < 5$.
Ответ: $x \in (2; 5)$.

2) Исходное неравенство: $log_{\frac{1}{2}}(log_3 \frac{x+1}{x-1}) \geq 0$.
Так как основание внешнего логарифма $\frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется. Также аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$0 < log_3 \frac{x+1}{x-1} \leq (\frac{1}{2})^0$
$0 < log_3 \frac{x+1}{x-1} \leq 1$
Перейдем к системе неравенств:
$ \begin{cases} log_3 \frac{x+1}{x-1} > 0 \\ log_3 \frac{x+1}{x-1} \leq 1 \end{cases} $
Решим первое неравенство (основание $3 > 1$):
$\frac{x+1}{x-1} > 3^0 \Rightarrow \frac{x+1}{x-1} > 1 \Rightarrow \frac{x+1}{x-1} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{x+1-x+1}{x-1} > 0 \Rightarrow \frac{2}{x-1} > 0$
Отсюда следует, что $x-1 > 0$, то есть $x > 1$.
Решим второе неравенство (основание $3 > 1$):
$\frac{x+1}{x-1} \leq 3^1 \Rightarrow \frac{x+1}{x-1} - 3 \leq 0 \Rightarrow \frac{x+1-3(x-1)}{x-1} \leq 0 \Rightarrow \frac{x+1-3x+3}{x-1} \leq 0 \Rightarrow \frac{4-2x}{x-1} \leq 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=2$. Нуль знаменателя: $x=1$.
На числовой прямой отмечаем точки $1$ (выколотая) и $2$ (закрашенная) и проверяем знаки выражения $\frac{4-2x}{x-1}$ на интервалах $(-\infty, 1)$, $(1, 2]$, $[2, \infty)$.
Получаем решение: $x \in (-\infty, 1) \cup [2, \infty)$.
Область определения исходного неравенства: $x > 1$.
Находим пересечение решения второго неравенства с ОДЗ: $(x \in (-\infty, 1) \cup [2, \infty)) \cap (x > 1)$.
Пересечением является $x \geq 2$.
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $log_{0.5}(log_5 \frac{x-2}{x+2}) \geq log_{0.5} 1$.
Так как $log_{0.5} 1 = 0$, неравенство имеет вид: $log_{0.5}(log_5 \frac{x-2}{x+2}) \geq 0$.
Основание $0.5 < 1$, поэтому знак неравенства меняется. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$0 < log_5 \frac{x-2}{x+2} \leq (0.5)^0$
$0 < log_5 \frac{x-2}{x+2} \leq 1$
Переходим к системе:
$ \begin{cases} log_5 \frac{x-2}{x+2} > 0 \\ log_5 \frac{x-2}{x+2} \leq 1 \end{cases} $
Решим первое неравенство (основание $5 > 1$):
$\frac{x-2}{x+2} > 5^0 \Rightarrow \frac{x-2}{x+2} > 1 \Rightarrow \frac{x-2}{x+2} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{x-2-(x+2)}{x+2} > 0 \Rightarrow \frac{-4}{x+2} > 0$
Это неравенство выполняется, когда знаменатель отрицателен: $x+2 < 0 \Rightarrow x < -2$.
Решим второе неравенство (основание $5 > 1$):
$\frac{x-2}{x+2} \leq 5^1 \Rightarrow \frac{x-2}{x+2} - 5 \leq 0 \Rightarrow \frac{x-2-5(x+2)}{x+2} \leq 0 \Rightarrow \frac{-4x-12}{x+2} \leq 0 \Rightarrow \frac{-4(x+3)}{x+2} \leq 0$
Разделим на $-4$ и сменим знак неравенства: $\frac{x+3}{x+2} \geq 0$.
Методом интервалов (нули: $x=-3, x=-2$) получаем: $x \in (-\infty, -3] \cup (-2, \infty)$.
Область определения исходного неравенства: $x < -2$.
Находим пересечение решения второго неравенства с ОДЗ: $(x \in (-\infty, -3] \cup (-2, \infty)) \cap (x < -2)$.
Пересечением является $x \leq -3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3]$.

4) Исходное неравенство: $log_{2.5}(log_3(9^x - 6)) \geq 0$.
Так как основание внешнего логарифма $2.5 > 1$, знак неравенства не меняется:
$log_3(9^x - 6) \geq (2.5)^0$
$log_3(9^x - 6) \geq 1$
Решаем полученное неравенство. Основание $3 > 1$, знак не меняется:
$9^x - 6 \geq 3^1$
$9^x - 6 \geq 3$
$9^x \geq 9$
$9^x \geq 9^1$
Так как основание степени $9 > 1$, переходим к неравенству для показателей:
$x \geq 1$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть положительны:
1) $9^x - 6 > 0 \Rightarrow 9^x > 6 \Rightarrow x > log_9 6$.
2) $log_3(9^x - 6) > 0 \Rightarrow 9^x - 6 > 3^0 \Rightarrow 9^x - 6 > 1 \Rightarrow 9^x > 7 \Rightarrow x > log_9 7$.
Второе условие ($x > log_9 7$) является более строгим и определяет ОДЗ.
Теперь необходимо совместить решение $x \geq 1$ с ОДЗ $x > log_9 7$. Сравним $1$ и $log_9 7$.
Представим $1$ как $log_9 9$. Поскольку функция $y = log_9 t$ возрастающая (основание $9>1$), из $9 > 7$ следует, что $log_9 9 > log_9 7$, то есть $1 > log_9 7$.
Решение $x \geq 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x > log_9 7$), так как любое число, большее или равное $1$, также больше $log_9 7$.
Таким образом, окончательное решение совпадает с решением неравенства.
Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

1) Чтобы найти область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{2.1}\frac{3x-1}{5-x}} + \sqrt{x-4}$, необходимо, чтобы выражения под знаками квадратных корней были неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} \log_{2.1}\frac{3x-1}{5-x} \ge 0 \\ x-4 \ge 0\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\log_{2.1}\frac{3x-1}{5-x} \ge 0$.
Так как основание логарифма $2.1 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Неравенство равносильно следующему (при этом также выполняется условие $\frac{3x-1}{5-x} > 0$, необходимое для существования логарифма):
$\frac{3x-1}{5-x} \ge 2.1^0 \implies \frac{3x-1}{5-x} \ge 1$
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{3x-1 - (5-x)}{5-x} \ge 0$
$\frac{4x-6}{5-x} \ge 0$
Решая это неравенство методом интервалов (нули числителя $x=1.5$, нуль знаменателя $x=5$), находим, что оно выполняется для $x \in [1.5; 5)$.

2. Решим второе неравенство: $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $[1.5; 5) \cap [4; \infty)$.
Общим решением системы является промежуток $[4; 5)$.

Ответ: $[4; 5)$.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{-x^2+3x-2} + \sqrt{\ln(x+x^2)}$ область определения находится из системы неравенств:

$\begin{cases} -x^2+3x-2 \ge 0 \\ \ln(x+x^2) \ge 0\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $-x^2+3x-2 \ge 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2-3x+2 \le 0$.
Корнями уравнения $x^2-3x+2=0$ являются $x_1=1$ и $x_2=2$.
Так как график функции $y=x^2-3x+2$ — это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [1; 2]$.

2. Решим второе неравенство: $\ln(x+x^2) \ge 0$.
Так как основание натурального логарифма $e \approx 2.718 > 1$, функция является возрастающей. Неравенство равносильно следующему (условие $x+x^2 > 0$ выполняется автоматически):
$x+x^2 \ge e^0 \implies x+x^2 \ge 1$
$x^2+x-1 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2+x-1=0$ с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4(1)(-1) = 5$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2+x-1 \ge 0$ выполняется для значений $x$ вне корней:
$x \in (-\infty; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[1; 2] \cap \left( (-\infty; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; \infty) \right)$.
Приближенное значение $\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1+2.24}{2} \approx 0.62$.
Так как $1 > \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, пересечением является интервал $[1; 2]$.

Ответ: $[1; 2]$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(3x-2)} + \sqrt[4]{x+1}$ область определения находится из системы неравенств, так как выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}(3x-2) \ge 0 \\ x+1 \ge 0\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\log_{\frac{1}{2}}(3x-2) \ge 0$.
Для существования логарифма его аргумент должен быть строго положителен: $3x-2 > 0$.
Так как основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$3x-2 \le (\frac{1}{2})^0 \implies 3x-2 \le 1$.
Получаем систему:
$\begin{cases} 3x-2 > 0 \\ 3x-2 \le 1\end{cases}\implies\begin{cases} 3x > 2 \\ 3x \le 3\end{cases}\implies\begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x \le 1\end{cases}$
Решением этой системы является полуинтервал $x \in (\frac{2}{3}; 1]$.

2. Решим второе неравенство: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

3. Найдем пересечение решений: $(\frac{2}{3}; 1] \cap [-1; \infty)$.
Общим решением системы является промежуток $(\frac{2}{3}; 1]$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; 1]$.

Для определения, в каком упражнении преобразование выполнено неверно, проанализируем каждое утверждение. Утверждение вида "если A, то B" является верным, если множество решений A является подмножеством множества решений B.

1) Рассмотрим утверждение: если $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (x-1) + \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (x-2) > -2$, то $\begin{cases} (x-1)(x-2) > 0 \\ (x-1)(x-2) < 5 \end{cases}$.

Сначала решим исходное неравенство $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (x-1) + \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (x-2) > -2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств:$\begin{cases} x-1 > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.
Используя свойство логарифмов, получаем:$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} ((x-1)(x-2)) > -2$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{\sqrt{5}}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:$(x-1)(x-2) < \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2}$.
$(x-1)(x-2) < (\sqrt{5})^2 \implies (x-1)(x-2) < 5$.
С учетом ОДЗ ($x>2$), решение исходного неравенства является решением системы:$\begin{cases} x > 2 \\ (x-1)(x-2) < 5 \end{cases}$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 3x + 2 < 5 \implies x^2 - 3x - 3 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 3 = 0$ равны $x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4(-3)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.Таким образом, $x \in (\frac{3 - \sqrt{21}}{2}, \frac{3 + \sqrt{21}}{2})$.
Пересекая с ОДЗ $x>2$, получаем множество решений исходного неравенства: $S_1 = (2, \frac{3 + \sqrt{21}}{2})$.

Теперь решим систему, предложенную в качестве следствия: $\begin{cases} (x-1)(x-2) > 0 \\ (x-1)(x-2) < 5 \end{cases}$.
Первое неравенство $(x-1)(x-2) > 0$ имеет решение $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.
Второе неравенство $(x-1)(x-2) < 5$ имеет решение $x \in (\frac{3 - \sqrt{21}}{2}, \frac{3 + \sqrt{21}}{2})$.
Пересечение этих множеств дает итоговое решение системы: $S_2 = (\frac{3 - \sqrt{21}}{2}, 1) \cup (2, \frac{3 + \sqrt{21}}{2})$.

Сравним множества $S_1$ и $S_2$. Поскольку $S_1 \subset S_2$, то утверждение "если A, то B" является верным. Преобразование корректно.

Ответ: Преобразование выполнено верно.

2) Рассмотрим утверждение: если $3^{3x} - 4 \cdot 3^x \le 0$, то $0 < x \le \log_9 4$.

Решим исходное неравенство $3^{3x} - 4 \cdot 3^x \le 0$.
Сделаем замену $y = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $y>0$.Неравенство принимает вид: $y^3 - 4y \le 0$.
$y(y^2-4) \le 0 \implies y(y-2)(y+2) \le 0$.
Решением этого неравенства для $y$ является $y \in (-\infty, -2] \cup [0, 2]$.
Учитывая условие $y>0$, получаем $y \in (0, 2]$.
Возвращаемся к переменной $x$: $0 < 3^x \le 2$.
Неравенство $3^x > 0$ выполняется всегда. Решаем $3^x \le 2$.
Логарифмируя по основанию 3, получаем $x \le \log_3 2$.
Множество решений исходного неравенства: $S_1 = (-\infty, \log_3 2]$.

Теперь рассмотрим множество, предложенное в качестве следствия: $0 < x \le \log_9 4$.
Преобразуем $\log_9 4$ к основанию 3: $\log_9 4 = \frac{\log_3 4}{\log_3 9} = \frac{\log_3 (2^2)}{2} = \frac{2\log_3 2}{2} = \log_3 2$.
Таким образом, множество решений $S_2$ это интервал $(0, \log_3 2]$.

Сравним множества $S_1 = (-\infty, \log_3 2]$ и $S_2 = (0, \log_3 2]$.
Множество $S_1$ не является подмножеством $S_2$. Например, $x=0$ является решением исходного неравенства ($3^0 - 4 \cdot 3^0 = 1 - 4 = -3 \le 0$), но не принадлежит интервалу $(0, \log_3 2]$. Следовательно, утверждение "если A, то B" является ложным.

Ответ: Преобразование выполнено неверно.

3) Рассмотрим утверждение: если $\sqrt{\log_5 (x-2)} > 2$, то $x-2 > 625$.

Решим исходное неравенство $\sqrt{\log_5 (x-2)} > 2$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — положительным.$\begin{cases} \log_5(x-2) \ge 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x-2 \ge 5^0 \\ x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x-2 \ge 1 \\ x > 2 \end{cases} \implies x \ge 3$.
Возведем обе части неравенства в квадрат, так как они обе неотрицательны:$(\sqrt{\log_5 (x-2)})^2 > 2^2 \implies \log_5 (x-2) > 4$.
Так как основание логарифма $5>1$, получаем:$x-2 > 5^4 \implies x-2 > 625$.
Это решение ($x > 627$) удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 3$).
Множество решений исходного неравенства: $S_1 = \{x | x-2 > 625\}$.

Множество решений для следствия $x-2 > 625$ обозначим как $S_2$.
$S_2 = \{x | x-2 > 625\}$.

Сравниваем множества $S_1$ и $S_2$. Они полностью совпадают ($S_1=S_2$), следовательно $S_1 \subseteq S_2$. Утверждение верно.

Ответ: Преобразование выполнено верно.

Таким образом, единственное упражнение, в котором преобразование (логическое следование) выполнено неверно, это пункт 2.