Номер 321, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для определения, в каком упражнении преобразование выполнено неверно, проанализируем каждое утверждение. Утверждение вида "если A, то B" является верным, если множество решений A является подмножеством множества решений B.

1) Рассмотрим утверждение: если $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (x-1) + \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (x-2) > -2$, то $\begin{cases} (x-1)(x-2) > 0 \\ (x-1)(x-2) < 5 \end{cases}$.

Сначала решим исходное неравенство $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (x-1) + \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (x-2) > -2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств:$\begin{cases} x-1 > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.
Используя свойство логарифмов, получаем:$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} ((x-1)(x-2)) > -2$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{\sqrt{5}}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:$(x-1)(x-2) < \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2}$.
$(x-1)(x-2) < (\sqrt{5})^2 \implies (x-1)(x-2) < 5$.
С учетом ОДЗ ($x>2$), решение исходного неравенства является решением системы:$\begin{cases} x > 2 \\ (x-1)(x-2) < 5 \end{cases}$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 3x + 2 < 5 \implies x^2 - 3x - 3 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 3 = 0$ равны $x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4(-3)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.Таким образом, $x \in (\frac{3 - \sqrt{21}}{2}, \frac{3 + \sqrt{21}}{2})$.
Пересекая с ОДЗ $x>2$, получаем множество решений исходного неравенства: $S_1 = (2, \frac{3 + \sqrt{21}}{2})$.

Теперь решим систему, предложенную в качестве следствия: $\begin{cases} (x-1)(x-2) > 0 \\ (x-1)(x-2) < 5 \end{cases}$.
Первое неравенство $(x-1)(x-2) > 0$ имеет решение $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.
Второе неравенство $(x-1)(x-2) < 5$ имеет решение $x \in (\frac{3 - \sqrt{21}}{2}, \frac{3 + \sqrt{21}}{2})$.
Пересечение этих множеств дает итоговое решение системы: $S_2 = (\frac{3 - \sqrt{21}}{2}, 1) \cup (2, \frac{3 + \sqrt{21}}{2})$.

Сравним множества $S_1$ и $S_2$. Поскольку $S_1 \subset S_2$, то утверждение "если A, то B" является верным. Преобразование корректно.

Ответ: Преобразование выполнено верно.

2) Рассмотрим утверждение: если $3^{3x} - 4 \cdot 3^x \le 0$, то $0 < x \le \log_9 4$.

Решим исходное неравенство $3^{3x} - 4 \cdot 3^x \le 0$.
Сделаем замену $y = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $y>0$.Неравенство принимает вид: $y^3 - 4y \le 0$.
$y(y^2-4) \le 0 \implies y(y-2)(y+2) \le 0$.
Решением этого неравенства для $y$ является $y \in (-\infty, -2] \cup [0, 2]$.
Учитывая условие $y>0$, получаем $y \in (0, 2]$.
Возвращаемся к переменной $x$: $0 < 3^x \le 2$.
Неравенство $3^x > 0$ выполняется всегда. Решаем $3^x \le 2$.
Логарифмируя по основанию 3, получаем $x \le \log_3 2$.
Множество решений исходного неравенства: $S_1 = (-\infty, \log_3 2]$.

Теперь рассмотрим множество, предложенное в качестве следствия: $0 < x \le \log_9 4$.
Преобразуем $\log_9 4$ к основанию 3: $\log_9 4 = \frac{\log_3 4}{\log_3 9} = \frac{\log_3 (2^2)}{2} = \frac{2\log_3 2}{2} = \log_3 2$.
Таким образом, множество решений $S_2$ это интервал $(0, \log_3 2]$.

Сравним множества $S_1 = (-\infty, \log_3 2]$ и $S_2 = (0, \log_3 2]$.
Множество $S_1$ не является подмножеством $S_2$. Например, $x=0$ является решением исходного неравенства ($3^0 - 4 \cdot 3^0 = 1 - 4 = -3 \le 0$), но не принадлежит интервалу $(0, \log_3 2]$. Следовательно, утверждение "если A, то B" является ложным.

Ответ: Преобразование выполнено неверно.

3) Рассмотрим утверждение: если $\sqrt{\log_5 (x-2)} > 2$, то $x-2 > 625$.

Решим исходное неравенство $\sqrt{\log_5 (x-2)} > 2$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — положительным.$\begin{cases} \log_5(x-2) \ge 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x-2 \ge 5^0 \\ x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x-2 \ge 1 \\ x > 2 \end{cases} \implies x \ge 3$.
Возведем обе части неравенства в квадрат, так как они обе неотрицательны:$(\sqrt{\log_5 (x-2)})^2 > 2^2 \implies \log_5 (x-2) > 4$.
Так как основание логарифма $5>1$, получаем:$x-2 > 5^4 \implies x-2 > 625$.
Это решение ($x > 627$) удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 3$).
Множество решений исходного неравенства: $S_1 = \{x | x-2 > 625\}$.

Множество решений для следствия $x-2 > 625$ обозначим как $S_2$.
$S_2 = \{x | x-2 > 625\}$.

Сравниваем множества $S_1$ и $S_2$. Они полностью совпадают ($S_1=S_2$), следовательно $S_1 \subseteq S_2$. Утверждение верно.

Ответ: Преобразование выполнено верно.

Таким образом, единственное упражнение, в котором преобразование (логическое следование) выполнено неверно, это пункт 2.