Номер 317, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

317.1)

Дано логарифмическое неравенство $lg(x^2 + 2x + 2) < 1$.

По определению десятичного логарифма, основание равно 10. Неравенство можно переписать как $\log_{10}(x^2 + 2x + 2) < 1$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 + 2x + 2 > 0$

Для анализа квадратного трехчлена $y = x^2 + 2x + 2$ найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), парабола не пересекает ось абсцисс и ее ветви направлены вверх. Это означает, что выражение $x^2 + 2x + 2$ положительно при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

2. Решение неравенства. Так как основание логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при потенцировании знак неравенства сохраняется.

$\log_{10}(x^2 + 2x + 2) < 1$

Воспользуемся свойством логарифмов: $x^2 + 2x + 2 < 10^1$.

$x^2 + 2x + 2 < 10$

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Так как парабола $y = x^2 + 2x - 8$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение этого неравенства: $-4 < x < 2$, или $x \in (-4, 2)$.

3. Совмещение с ОДЗ. Поскольку ОДЗ — это все действительные числа, итоговое решение совпадает с решением, полученным на втором шаге.

Ответ: $x \in (-4, 2)$.

2)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > -2$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.

2. Решение неравенства. Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $0 < a < 1$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей, и при потенцировании знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 2) > -2$

$x^2 - x - 2 < (\frac{1}{2})^{-2}$

$x^2 - x - 2 < 2^2$

$x^2 - x - 2 < 4$

$x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение этого неравенства: $-2 < x < 3$, или $x \in (-2, 3)$.

3. Совмещение с ОДЗ. Необходимо найти пересечение двух множеств: ОДЗ $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$ и решения неравенства $x \in (-2, 3)$.

Пересекая эти множества, получаем: $x \in (-2, -1) \cup (2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (2, 3)$.

3)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < -1$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 + 3x - 1 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Парабола $y = x^2 + 3x - 1$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}, +\infty)$.

2. Решение неравенства. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $0 < a < 1$. Логарифмическая функция является убывающей, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.

$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) < -1$

$x^2 + 3x - 1 > (\frac{1}{3})^{-1}$

$x^2 + 3x - 1 > 3$

$x^2 + 3x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 3x - 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$.

3. Совмещение с ОДЗ. Сравним значения корней. Оценим $\sqrt{13}$: $3^2=9$, $4^2=16$, значит $3 < \sqrt{13} < 4$.

$\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-3 - 3.6}{2} = -3.3$. Так как $-4 < -3.3$, то $-4 < \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$.

$\frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-3 + 3.6}{2} = 0.3$. Так как $1 > 0.3$, то $1 > \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$.

Интервалы ОДЗ: $(-\infty, \approx -3.3) \cup (\approx 0.3, +\infty)$.

Интервалы решения: $(-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$.

Пересечение этих множеств дает $x \in (-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$.

4)

Дано логарифмическое неравенство $\log_2(x^2 + 10) < 4$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 + 10 > 0$

Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 10 \ge 10$. Таким образом, выражение $x^2 + 10$ всегда положительно.

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

2. Решение неравенства. Основание логарифма $a = 2 > 1$. Логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.

$\log_2(x^2 + 10) < 4$

$x^2 + 10 < 2^4$

$x^2 + 10 < 16$

$x^2 - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6 = 0$: $x^2 = 6$, откуда $x_1 = -\sqrt{6}$ и $x_2 = \sqrt{6}$.

Парабола $y = x^2 - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение этого неравенства: $-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$, или $x \in (-\sqrt{6}, \sqrt{6})$.

3. Совмещение с ОДЗ. Поскольку ОДЗ — это все действительные числа, итоговое решение совпадает с решением, полученным на втором шаге.

Ответ: $x \in (-\sqrt{6}, \sqrt{6})$.