Номер 312, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано логарифмическое неравенство $\log_2(2x+5) > \log_2(x-7)$.

Для решения этого неравенства необходимо учесть два условия:

1. Область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

$\begin{cases} 2x + 5 > 0 \\ x - 7 > 0 \end{cases}$

Решаем эту систему:

$2x > -5 \implies x > -2.5$

$x > 7$

Пересечением этих двух условий является $x > 7$.

2. Так как основание логарифма $a=2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2(t)$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому знак неравенства сохраняется:

$2x + 5 > x - 7$

$2x - x > -7 - 5$

$x > -12$

Теперь найдем пересечение решения неравенства ($x > -12$) и ОДЗ ($x > 7$). Общим решением является $x > 7$.

Ответ: $(7, +\infty)$.

2) Дано логарифмическое неравенство $\log_5(3x-2) > \log_5(x+6)$.

Так как основание логарифма $a=5 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется. Неравенство равносильно системе, включающей ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 2 > x + 6 \\ 3x - 2 > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

1. $3x - x > 6 + 2 \implies 2x > 8 \implies x > 4$.

2. $3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}$.

3. $x > -6$.

Найдем пересечение всех трех решений: $x > 4$, $x > \frac{2}{3}$ и $x > -6$. Наиболее сильным условием является $x > 4$.

Ответ: $(4, +\infty)$.

3) Дано логарифмическое неравенство $\log_3(3x-1) < \log_3(2x+3)$.

Основание логарифма $a=3 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется. Составим систему с учетом ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 1 < 2x + 3 \\ 3x - 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

1. $3x - 2x < 3 + 1 \implies x < 4$.

2. $3x > 1 \implies x > \frac{1}{3}$.

3. $2x > -3 \implies x > -1.5$.

Объединяя все условия, получаем двойное неравенство: $\frac{1}{3} < x < 4$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, 4)$.

4) Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{9}}(4x-3) \ge \log_{\frac{1}{9}}(x+3)$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{9}$, и так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{9}}(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Составим систему с учетом ОДЗ:

$\begin{cases} 4x - 3 \le x + 3 \\ 4x - 3 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решаем каждое неравенство системы:

1. $4x - x \le 3 + 3 \implies 3x \le 6 \implies x \le 2$.

2. $4x > 3 \implies x > \frac{3}{4}$.

3. $x > -3$.

Найдем пересечение полученных решений: $x \le 2$, $x > \frac{3}{4}$ и $x > -3$. Общим решением является интервал $\frac{3}{4} < x \le 2$.

Ответ: $(\frac{3}{4}, 2]$.