Номер 310, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Параграф 18. Логарифмдiк теңдеулер және олардың жүйелерi. IV тарау. Көрсеткiштiк және логарифмдiк теңдеулер мен теңсiздiктер - номер 310, страница 147.

Условие.

Решение 2 (rus).

1)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \log_2 x + \log_4 y = 4, \\ \log_4 x + \log_2 y = 5 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$, $y > 0$.

Приведем логарифмы к одному основанию, к основанию 2. Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{\log_2 y}{2} = \frac{1}{2}\log_2 y$.

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} = \frac{1}{2}\log_2 x$.

Подставим эти выражения в исходную систему:

$\begin{cases} \log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 y = 4, \\ \frac{1}{2}\log_2 x + \log_2 y = 5 \end{cases}$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \log_2 x$ и $b = \log_2 y$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + \frac{1}{2}b = 4, \\ \frac{1}{2}a + b = 5 \end{cases}$

Умножим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$\begin{cases} 2a + b = 8, \\ a + 2b = 10 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 8 - 2a$. Подставим во второе уравнение:

$a + 2(8 - 2a) = 10$

$a + 16 - 4a = 10$

$-3a = -6$

$a = 2$

Теперь найдем $b$: $b = 8 - 2a = 8 - 2(2) = 4$.

Вернемся к исходным переменным:

$a = \log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$.

$b = \log_2 y = 4 \implies y = 2^4 = 16$.

Найденные значения $x=4$ и $y=16$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4, 16)$.

2)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \log_3 x + \log_9 y = 5, \\ 2\log_9 x - \log_3 y = -1 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$.

Приведем логарифмы к основанию 3:

$\log_9 y = \frac{\log_3 y}{\log_3 9} = \frac{\log_3 y}{2}$.

$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}$.

Подставим в систему:

$\begin{cases} \log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 y = 5, \\ 2\left(\frac{1}{2}\log_3 x\right) - \log_3 y = -1 \end{cases}$

$\begin{cases} \log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 y = 5, \\ \log_3 x - \log_3 y = -1 \end{cases}$

Сделаем замену: $a = \log_3 x$, $b = \log_3 y$.

$\begin{cases} a + \frac{1}{2}b = 5, \\ a - b = -1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = b - 1$. Подставим в первое уравнение:

$(b - 1) + \frac{1}{2}b = 5$

$\frac{3}{2}b = 6$

$b = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$

Найдем $a$: $a = b - 1 = 4 - 1 = 3$.

Вернемся к $x$ и $y$:

$a = \log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$.

$b = \log_3 y = 4 \implies y = 3^4 = 81$.

Значения $x=27$ и $y=81$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(27, 81)$.

3)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \log_4 x = y - 1, \\ x^{\frac{y}{6}} = 4 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$.

Из первого уравнения по определению логарифма выразим $x$ через $y$:

$x = 4^{y-1}$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(4^{y-1})^{\frac{y}{6}} = 4$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$4^{(y-1)\frac{y}{6}} = 4^1$

Так как основания степеней равны, приравняем их показатели:

$(y-1)\frac{y}{6} = 1$

$y(y-1) = 6$

$y^2 - y - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корни уравнения $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня $y$.

1. Если $y = 3$, то $x = 4^{3-1} = 4^2 = 16$. Получили пару $(16, 3)$.

2. Если $y = -2$, то $x = 4^{-2-1} = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$. Получили пару $(\frac{1}{64}, -2)$.

Обе пары удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(16, 3)$, $(\frac{1}{64}, -2)$.

4)

Дана система уравнений: $\begin{cases} y^{\frac{1}{x}} = 10, \\ \lg y = \frac{1}{x} \end{cases}$

ОДЗ: $y > 0$, $x \neq 0$. (lg - это десятичный логарифм, $\log_{10}$)

Из второго уравнения по определению логарифма выразим $y$:

$\lg y = \frac{1}{x} \iff y = 10^{\frac{1}{x}}$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$(10^{\frac{1}{x}})^{\frac{1}{x}} = 10$

Используя свойство степени, получим:

$10^{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}} = 10^1$

$10^{\frac{1}{x^2}} = 10^1$

Приравняем показатели степеней:

$\frac{1}{x^2} = 1$

$x^2 = 1$

Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$.

1. Если $x = 1$, то из второго уравнения $\lg y = \frac{1}{1} = 1$, откуда $y = 10^1 = 10$. Получили пару $(1, 10)$.

2. Если $x = -1$, то из второго уравнения $\lg y = \frac{1}{-1} = -1$, откуда $y = 10^{-1} = \frac{1}{10}$. Получили пару $(-1, \frac{1}{10})$.

Обе пары удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(1, 10)$, $(-1, \frac{1}{10})$.