Номер 308, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Решим систему уравнений:

$\begin{cases}\log_8(x+y) + \log_8(7-y) = 1 + \log_8 5, \\2^{\log_2(x-y)} = 4.\end{cases}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых выражения в уравнениях имеют смысл. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases}x+y > 0, \\7-y > 0 \implies y < 7, \\x-y > 0 \implies x > y.\end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$2^{\log_2(x-y)} = 4 \implies x-y = 4$.

Теперь преобразуем первое уравнение. Представим $1$ как $\log_8 8$ и воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_8(x+y) + \log_8(7-y) = \log_8 8 + \log_8 5$

$\log_8((x+y)(7-y)) = \log_8(8 \cdot 5)$

$\log_8((x+y)(7-y)) = \log_8(40)$

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$(x+y)(7-y) = 40$.

Теперь мы имеем более простую систему для решения:

$\begin{cases}x-y = 4, \\(x+y)(7-y) = 40.\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 4+y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$((4+y)+y)(7-y) = 40$

$(4+2y)(7-y) = 40$

Раскроем скобки: $28 - 4y + 14y - 2y^2 = 40$

Приведем подобные члены: $-2y^2 + 10y + 28 = 40$

Перенесем все в левую часть: $-2y^2 + 10y - 12 = 0$

Разделим все уравнение на $-2$ для упрощения: $y^2 - 5y + 6 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни легко найти, например, по теореме Виета: $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$:

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 4+2 = 6$. Получаем решение $(6, 2)$.

2. Если $y_2 = 3$, то $x_2 = 4+3 = 7$. Получаем решение $(7, 3)$.

Проверим оба решения на соответствие ОДЗ:

Для пары $(6, 2)$: $x+y = 6+2 = 8 > 0$ (верно), $y = 2 < 7$ (верно), $x > y \implies 6 > 2$ (верно). Решение подходит.

Для пары $(7, 3)$: $x+y = 7+3 = 10 > 0$ (верно), $y = 3 < 7$ (верно), $x > y \implies 7 > 3$ (верно). Решение также подходит.

Ответ: $(6, 2), (7, 3)$.

2)

Решим систему уравнений:

$\begin{cases}3^{\log_3(3y-x+24)} = 27, \\\log_2(2x-2y) - \log_2(5-y^2) = 1.\end{cases}$

Определим ОДЗ:

$\begin{cases}3y-x+24 > 0, \\2x-2y > 0 \implies x-y > 0 \implies x > y, \\5-y^2 > 0 \implies y^2 < 5 \implies -\sqrt{5} < y < \sqrt{5}.\end{cases}$

Упростим первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$3^{\log_3(3y-x+24)} = 27 \implies 3y-x+24 = 27$

$3y-x = 3$.

Упростим второе уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$\log_2\left(\frac{2x-2y}{5-y^2}\right) = 1$.

По определению логарифма, это эквивалентно:

$\frac{2x-2y}{5-y^2} = 2^1$

$\frac{2(x-y)}{5-y^2} = 2$.

Так как из ОДЗ следует, что $x-y \neq 0$, мы можем разделить обе части на 2:

$\frac{x-y}{5-y^2} = 1 \implies x-y = 5-y^2$.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases}3y-x = 3, \\x-y = 5-y^2.\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 3y-3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(3y-3) - y = 5-y^2$

$2y-3 = 5-y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + 2y - 8 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = -4$ и $y_2 = 2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

1. Если $y_1 = -4$, то $x_1 = 3(-4)-3 = -12-3 = -15$. Получаем пару $(-15, -4)$.

2. Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 3(2)-3 = 6-3 = 3$. Получаем пару $(3, 2)$.

Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ:

Для пары $(-15, -4)$: проверяем условие $-\sqrt{5} < y < \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, это означает $-2.236 < y < 2.236$. Значение $y = -4$ не входит в этот интервал. Следовательно, это посторонний корень.

Для пары $(3, 2)$: проверяем условия. $x > y \implies 3 > 2$ (верно). $-\sqrt{5} < y < \sqrt{5} \implies -2.236 < 2 < 2.236$ (верно). $3y-x+24 = 3(2)-3+24 = 6-3+24 = 27 > 0$ (верно). Все условия выполнены.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $(3, 2)$.