Номер 301, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное уравнение: $\log_3(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = 2 \cdot \log_9 15$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов, в частности, формулу перехода к новому основанию и свойство степени: $2 \cdot \log_9 15 = 2 \cdot \log_{3^2} 15 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_3 15 = \log_3 15$.

Теперь уравнение имеет вид: $\log_3(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = \log_3 15$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $5^{2x} - 2 \cdot 5^x > 0$. Вынесем $5^x$ за скобки: $5^x(5^x - 2) > 0$. Так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$, неравенство сводится к $5^x - 2 > 0$, откуда $5^x > 2$, то есть $x > \log_5 2$.

Поскольку основания логарифмов в уравнении одинаковы, мы можем приравнять их аргументы: $5^{2x} - 2 \cdot 5^x = 15$.

Это уравнение является квадратным относительно $5^x$. Сделаем замену: пусть $t = 5^x$. Учитывая ОДЗ, $t > 2$. Уравнение принимает вид: $t^2 - 2t - 15 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$ (и тем более $t > 2$), поэтому он является посторонним. Корень $t_1 = 5$ удовлетворяет условию $t > 2$.

Выполним обратную замену: $5^x = 5$, откуда $x = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > \log_5 2$). Так как $1 = \log_5 5$, а $5 > 2$, то $\log_5 5 > \log_5 2$, следовательно, $1 > \log_5 2$. Корень подходит.

Ответ: $1$

2) Исходное уравнение: $\log_2(2^{2(x+1)} + 2^{4x}) = 2 \log_4 5$.

Упростим правую часть уравнения: $2 \log_4 5 = 2 \log_{2^2} 5 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2 5 = \log_2 5$.

Уравнение принимает вид: $\log_2(2^{2(x+1)} + 2^{4x}) = \log_2 5$.

ОДЗ: $2^{2(x+1)} + 2^{4x} > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных $x$, так как оба слагаемых являются степенными функциями с положительным основанием и, следовательно, всегда положительны.

Приравниваем аргументы логарифмов: $2^{2(x+1)} + 2^{4x} = 5$.

Преобразуем левую часть: $2^{2x+2} + (2^2)^{2x} = 5$, что равносильно $2^2 \cdot 2^{2x} + (2^{2x})^2 = 5$, или $4 \cdot 2^{2x} + (2^{2x})^2 = 5$.

Сделаем замену $t = 2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$ для любого $x$, то $t > 0$. Уравнение становится квадратным: $t^2 + 4t - 5 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Рассматриваем $t_1 = 1$.

Производим обратную замену: $2^{2x} = 1$. Так как $1 = 2^0$, получаем $2^{2x} = 2^0$, откуда $2x = 0$ и $x = 0$.

Ответ: $0$

3) Исходное уравнение: $\log_3(3^x - 8) = 2 - x$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным, $3^x - 8 > 0$, что означает $3^x > 8$, или $x > \log_3 8$.

По определению логарифма ($ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $), преобразуем уравнение: $3^{2-x} = 3^x - 8$.

Упростим левую часть: $\frac{3^2}{3^x} = 3^x - 8$, то есть $\frac{9}{3^x} = 3^x - 8$.

Сделаем замену $t = 3^x$. Из ОДЗ следует, что $t > 8$. Уравнение принимает вид: $\frac{9}{t} = t - 8$.

Домножим обе части на $t$ (так как $t>8$, то $t \neq 0$): $9 = t^2 - 8t$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 8t - 9 = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 8$. Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 > 8$.

Выполним обратную замену: $3^x = 9$, что равносильно $3^x = 3^2$, откуда $x = 2$.

Проверим решение по ОДЗ: $2 > \log_3 8$. Это верно, так как $3^2 > 8$ (то есть $9 > 8$).

Ответ: $2$

4) Исходное уравнение: $\log_7(6 + 7^{-x}) = 1 + x$.

ОДЗ: $6 + 7^{-x} > 0$. Так как $7^{-x} > 0$ для любого действительного $x$, сумма $6 + 7^{-x}$ всегда положительна. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Используя определение логарифма, перепишем уравнение в виде: $7^{1+x} = 6 + 7^{-x}$.

Преобразуем уравнение: $7^1 \cdot 7^x = 6 + \frac{1}{7^x}$.

Сделаем замену $t = 7^x$. Так как $x \in \mathbb{R}$, то $t > 0$. Уравнение примет вид: $7t = 6 + \frac{1}{t}$.

Умножим обе части на $t$ ($t>0$): $7t^2 = 6t + 1$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $7t^2 - 6t - 1 = 0$.

Решим уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения: $t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1)}}{2 \cdot 7} = \frac{6 \pm \sqrt{36+28}}{14} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{14} = \frac{6 \pm 8}{14}$.

Получаем два корня: $t_1 = \frac{6+8}{14} = \frac{14}{14} = 1$ и $t_2 = \frac{6-8}{14} = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7}$.

Корень $t_2 = -1/7$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Корень $t_1 = 1$ подходит.

Выполним обратную замену: $7^x = 1$. Так как $1 = 7^0$, имеем $7^x = 7^0$, откуда $x = 0$.

Ответ: $0$