Номер 300, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное уравнение: $lg x + lg x^2 + lg x^3 = 6$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для $lg x^2$ условие $x^2 > 0$ (т.е. $x \neq 0$), а для $lg x^3$ условие $x^3 > 0$ (т.е. $x > 0$). Пересечение этих условий дает $x > 0$.
Используем свойство логарифма $log_a(b^c) = c \cdot log_a(b)$, чтобы вынести степени из-под знака логарифма:
$lg x + 2 \cdot lg x + 3 \cdot lg x = 6$
Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(1 + 2 + 3) \cdot lg x = 6$
$6 \cdot lg x = 6$
Разделим обе части уравнения на 6:
$lg x = 1$
По определению десятичного логарифма, если $lg x = 1$, то $x$ равен 10 в степени 1:
$x = 10^1$
$x = 10$
Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $10 > 0$, корень подходит.
Ответ: 10

2) Исходное уравнение: $\frac{lg x}{1 - lg x} = 3$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $1 - lg x \neq 0$, откуда $lg x \neq 1$, и, следовательно, $x \neq 10^1=10$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 10) \cup (10, +\infty)$.
Для решения уравнения умножим обе части на знаменатель $(1 - lg x)$:
$lg x = 3 \cdot (1 - lg x)$
Раскроем скобки:
$lg x = 3 - 3 \cdot lg x$
Перенесем слагаемые с $lg x$ в левую часть:
$lg x + 3 \cdot lg x = 3$
$4 \cdot lg x = 3$
Найдем $lg x$:
$lg x = \frac{3}{4}$
По определению логарифма:
$x = 10^{\frac{3}{4}}$
Это значение можно также записать в виде корня: $x = \sqrt[4]{10^3} = \sqrt[4]{1000}$.
Найденный корень $x=10^{\frac{3}{4}}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $10^{\frac{3}{4}} > 0$ и $10^{\frac{3}{4}} \neq 10$.
Ответ: $10^{\frac{3}{4}}$

3) Исходное уравнение: $log_2 log_2 log_2 x = 0$.
Это уравнение с вложенными логарифмами. Решать его будем последовательно, "разворачивая" логарифмы снаружи внутрь, используя определение логарифма: $log_a b = c \iff a^c = b$.
Найдем ОДЗ. Для существования выражения должны выполняться условия:
1. $x > 0$ (для внутреннего $log_2 x$)
2. $log_2 x > 0$ (для среднего $log_2(log_2 x)$). Из этого следует $x > 2^0$, то есть $x > 1$.
3. $log_2(log_2 x) > 0$ (для внешнего $log_2(log_2(log_2 x))$). Из этого следует $log_2 x > 2^0=1$, что в свою очередь дает $x > 2^1$, то есть $x > 2$.
Итоговое ОДЗ: $x > 2$.
Теперь решаем уравнение:
$log_2(log_2(log_2 x)) = 0$
Применяем определение логарифма к внешнему $log_2$:
$log_2(log_2 x) = 2^0 = 1$
Снова применяем определение логарифма:
$log_2 x = 2^1 = 2$
И последний раз:
$x = 2^2 = 4$
Проверяем корень по ОДЗ: $4 > 2$, условие выполняется.
Ответ: 4

4) Исходное уравнение: $10^{x + lg 2} = 20$.
ОДЗ для данного уравнения: $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$), так как показатель степени может быть любым.
Воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$10^x \cdot 10^{lg 2} = 20$
Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{log_a b} = b$. Так как $lg$ - это логарифм по основанию 10, то $10^{lg 2} = 2$.
Подставим это значение в уравнение:
$10^x \cdot 2 = 20$
Разделим обе части уравнения на 2:
$10^x = 10$
Число 10 можно представить как $10^1$:
$10^x = 10^1$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = 1$
Ответ: 1