Номер 297, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^{\log_2(3x-y)} = 5, \\ \log_9(x^2 - y^2) - \log_9(x - y) = 0,5; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} 3x-y > 0, \\ x^2 - y^2 > 0, \\ x - y > 0. \end{cases} $

Упростим первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$2^{\log_2(3x-y)} = 5 \implies 3x-y = 5$.

Упростим второе уравнение. Используем свойство разности логарифмов $\log_a M - \log_a N = \log_a (M/N)$:

$\log_9\left(\frac{x^2 - y^2}{x-y}\right) = 0,5$.

Применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и учитывая, что по ОДЗ $x-y > 0$, мы можем сократить дробь:

$\log_9\left(\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}\right) = 0,5 \implies \log_9(x+y) = 0,5$.

По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $b = a^c$. Следовательно:

$x+y = 9^{0,5} = 9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x-y = 5, \\ x+y = 3. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$:

$(3x-y) + (x+y) = 5+3$

$4x = 8$

$x = 2$.

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы:

$2+y = 3$

$y = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли решение $(2, 1)$ условиям ОДЗ:

$3x-y = 3(2)-1 = 5 > 0$ (верно).

$x-y = 2-1 = 1 > 0$ (верно).

$x^2-y^2 = 2^2-1^2 = 3 > 0$ (верно).

Все условия выполнены, следовательно, решение корректно.

Ответ: $(2, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{\log_3(x-y)} = 1, \\ \log_3(2x - 1) + \log_3 y = 1. \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x-y > 0, \\ 2x-1 > 0 \implies x > 0,5, \\ y > 0. \end{cases} $

Упростим первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$3^{\log_3(x-y)} = 1 \implies x-y = 1$.

Упростим второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$:

$\log_3((2x - 1)y) = 1$.

По определению логарифма:

$(2x - 1)y = 3^1 \implies (2x - 1)y = 3$.

Теперь решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x-y = 1, \\ (2x - 1)y = 3. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y+1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(2(y+1) - 1)y = 3$

$(2y+2 - 1)y = 3$

$(2y+1)y = 3$

$2y^2 + y - 3 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1+24 = 25$.

Корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$.

$y_1 = \frac{-1+5}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

$y_2 = \frac{-1-5}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$.

Проверим найденные значения $y$ на соответствие ОДЗ. По условию $y > 0$.

Значение $y_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Значение $y_2 = -1,5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1,5 < 0$. Это посторонний корень.

Найдем $x$ для $y=1$ из уравнения $x = y+1$:

$x = 1+1 = 2$.

Проверим решение $(2, 1)$ на соответствие всем условиям ОДЗ:

$x-y = 2-1 = 1 > 0$ (верно).

$x = 2 > 0,5$ (верно).

$y = 1 > 0$ (верно).

Решение корректно.

Ответ: $(2, 1)$.