Вопросы, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. При решении логарифмических уравнений необходимо в обязательном порядке учитывать область определения логарифмической функции. Это самое важное свойство, которое нельзя игнорировать.

Логарифм $\log_a(b)$ существует и имеет значение только при выполнении следующих трех условий:

1. Основание логарифма должно быть строго положительным: $a > 0$.

2. Основание логарифма не должно быть равно единице: $a \neq 1$.

3. Аргумент (подлогарифмическое выражение) должен быть строго положительным: $b > 0$.

Совокупность этих условий называется Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Перед тем как приступить к решению или после нахождения корней, необходимо проверить, удовлетворяют ли они ОДЗ. Если корень не входит в ОДЗ, он является посторонним и должен быть отброшен. Игнорирование этого свойства является одной из самых частых причин ошибок при решении логарифмических уравнений.

Также при решении используется свойство монотонности логарифмической функции, которое позволяет от равенства логарифмов по одинаковому основанию переходить к равенству их аргументов ($\log_c(f(x)) = \log_c(g(x)) \implies f(x) = g(x)$), но проверка ОДЗ является первостепенной.

Ответ: Свойство, которое необходимо обязательно учитывать, — это область определения логарифмической функции (основание больше 0 и не равно 1, аргумент больше 0).

2. Наиболее эффективным способом для решения уравнений вида $\log_a(x) = b$ и $\log_x(a) = b$ является использование определения логарифма.

В случае уравнения $\log_a(x) = b$, согласно определению, оно эквивалентно степенному уравнению $x = a^b$. При заданных $a > 0, a \neq 1$, это выражение сразу дает ответ, так как условие $x > 0$ будет выполнено автоматически ($a^b > 0$).

В случае уравнения $\log_x(a) = b$, оно по определению эквивалентно уравнению $x^b = a$. Если $b \neq 0$, то $x = a^{\frac{1}{b}}$. Однако, поскольку $x$ является основанием логарифма, найденное значение необходимо обязательно проверить на соответствие условиям: $x > 0$ и $x \neq 1$. Этот этап проверки является неотъемлемой частью решения.

Ответ: Наиболее эффективный метод для обоих уравнений — использование определения логарифма. Для $\log_a(x) = b$ решение — это $x = a^b$. Для $\log_x(a) = b$ решение — это $x = a^{\frac{1}{b}}$, с обязательной последующей проверкой выполнения условий $x > 0$ и $x \neq 1$.