Номер 286, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано неравенство $7^{2x-1} - 7^{x+1} \le 7^{x-1} - 7$. Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $\frac{7^{2x}}{7} - 7 \cdot 7^x \le \frac{7^x}{7} - 7$. Сделаем замену $y = 7^x$, где $y > 0$. Неравенство примет вид: $\frac{y^2}{7} - 7y \le \frac{y}{7} - 7$. Умножим обе части на 7, чтобы избавиться от знаменателя: $y^2 - 49y \le y - 49$. Перенесем все члены в левую часть: $y^2 - 50y + 49 \le 0$. Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 50y + 49 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 49$. Неравенство можно записать как $(y-1)(y-49) \le 0$. Решением этого неравенства является промежуток $1 \le y \le 49$. Вернемся к замене $y = 7^x$: $1 \le 7^x \le 49$. Представим границы в виде степеней семерки: $7^0 \le 7^x \le 7^2$. Так как основание $7 > 1$, то для показателей степени неравенство сохраняется: $0 \le x \le 2$. Наименьшее целое число в этом промежутке - это 0. Ответ: 0

2) Дано неравенство $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$. Преобразуем неравенство: $3^{2x} \cdot 3^2 - 3^x \cdot 3^4 < 3^x - 9$, что равносильно $9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x < 3^x - 9$. Сделаем замену $y = 3^x$, где $y > 0$. Получим: $9y^2 - 81y < y - 9$. Перенесем все в левую часть: $9y^2 - 82y + 9 < 0$. Найдем корни уравнения $9y^2 - 82y + 9 = 0$ через дискриминант: $D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400 = 80^2$. Корни: $y_{1,2} = \frac{82 \pm 80}{18}$, то есть $y_1 = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $y_2 = \frac{162}{18} = 9$. Неравенство можно записать как $9(y-\frac{1}{9})(y-9) < 0$. Решением является интервал $\frac{1}{9} < y < 9$. Вернемся к замене $y = 3^x$: $\frac{1}{9} < 3^x < 9$. Представим границы в виде степеней тройки: $3^{-2} < 3^x < 3^2$. Так как основание $3 > 1$, то $-2 < x < 2$. Наименьшее целое число в этом интервале - это -1. Ответ: -1

3) Дано неравенство $2^{2x+1} - 2^{x+3} \le 2^{x+1} - 8$. Преобразуем его: $2 \cdot 2^{2x} - 8 \cdot 2^x \le 2 \cdot 2^x - 8$. Сделаем замену $y = 2^x$, где $y > 0$. Получим $2y^2 - 8y \le 2y - 8$. Перенесем все члены в левую часть: $2y^2 - 10y + 8 \le 0$. Разделим неравенство на 2: $y^2 - 5y + 4 \le 0$. Найдем корни уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$. Неравенство можно записать как $(y-1)(y-4) \le 0$. Решением является промежуток $1 \le y \le 4$. Вернемся к замене $y = 2^x$: $1 \le 2^x \le 4$. Представим границы в виде степеней двойки: $2^0 \le 2^x \le 2^2$. Так как основание $2 > 1$, то для показателей степени имеем $0 \le x \le 2$. Наименьшее целое число в этом промежутке - это 0. Ответ: 0

4) Дано неравенство $5^{2x} - 5^{x+2} < 5^x - 25$. Преобразуем его: $(5^x)^2 - 25 \cdot 5^x < 5^x - 25$. Сделаем замену $y = 5^x$, где $y > 0$. Получим $y^2 - 25y < y - 25$. Перенесем все члены влево: $y^2 - 26y + 25 < 0$. Найдем корни уравнения $y^2 - 26y + 25 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 25$. Неравенство можно записать как $(y-1)(y-25) < 0$. Решением является интервал $1 < y < 25$. Вернемся к замене $y = 5^x$: $1 < 5^x < 25$. Представим границы в виде степеней пятерки: $5^0 < 5^x < 5^2$. Так как основание $5 > 1$, то для показателей степени имеем $0 < x < 2$. Наименьшее целое число в этом интервале - это 1. Ответ: 1