Номер 282, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное неравенство: $2^{3x} < \sqrt[5]{2}$.

Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию, в данном случае к 2. Правая часть неравенства может быть записана как $\sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}}$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$2^{3x} < 2^{\frac{1}{5}}$

Поскольку основание степени $a=2$ больше единицы ($a > 1$), то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$3x < \frac{1}{5}$

Разделим обе части на 3:

$x < \frac{1}{15}$

Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является 0.

Ответ: 0

2) Исходное неравенство: $(\frac{1}{8})^{\frac{x+1}{2}} > 4$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

Левая часть: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$. Тогда $(\frac{1}{8})^{\frac{x+1}{2}} = (2^{-3})^{\frac{x+1}{2}} = 2^{-\frac{3(x+1)}{2}}$.

Правая часть: $4 = 2^2$.

Неравенство принимает вид:

$2^{-\frac{3(x+1)}{2}} > 2^2$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$-\frac{3(x+1)}{2} > 2$

Умножим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

$3(x+1) < -4$

$3x + 3 < -4$

$3x < -7$

$x < -\frac{7}{3}$

Так как $-\frac{7}{3} \approx -2.33$, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является -3.

Ответ: -3

3) Исходное неравенство: $(\frac{1}{49})^{-\frac{x}{2}} \le 7$.

Приведем обе части к основанию 7.

Левая часть: $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$. Тогда $(\frac{1}{49})^{-\frac{x}{2}} = (7^{-2})^{-\frac{x}{2}} = 7^{-2 \cdot (-\frac{x}{2})} = 7^x$.

Правая часть: $7 = 7^1$.

Неравенство принимает вид:

$7^x \le 7^1$

Так как основание $7 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \le 1$

Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является 1.

Ответ: 1

4) Исходное неравенство: $3^{\frac{2x+1}{5}} < \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Приведем обе части к основанию 3.

Правая часть: $\frac{1}{\sqrt[3]{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{3}}} = 3^{-\frac{1}{3}}$.

Неравенство принимает вид:

$3^{\frac{2x+1}{5}} < 3^{-\frac{1}{3}}$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$\frac{2x+1}{5} < -\frac{1}{3}$

Умножим обе части на 15 (наименьшее общее кратное для 5 и 3):

$15 \cdot \frac{2x+1}{5} < 15 \cdot (-\frac{1}{3})$

$3(2x+1) < -5$

$6x + 3 < -5$

$6x < -8$

$x < -\frac{8}{6}$

$x < -\frac{4}{3}$

Так как $-\frac{4}{3} \approx -1.33$, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является -2.

Ответ: -2