Номер 277, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $3^x > \frac{1}{27}$
Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3.
Представим правую часть в виде степени с основанием 3: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
Неравенство принимает вид: $3^x > 3^{-3}$.
Так как основание степени $a = 3$ больше 1 ($3 > 1$), показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется.
$x > -3$
Решение неравенства в виде интервала: $(-3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-3, +\infty)$.

2) $2^x < \frac{1}{8}$
Приведем обе части к основанию 2.
Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Неравенство принимает вид: $2^x < 2^{-3}$.
Так как основание $a = 2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.
$x < -3$
Решение неравенства в виде интервала: $(-\infty, -3)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.

3) $(\frac{2}{5})^{x+2} > (\frac{2}{5})^{-1}$
Основания степеней в обеих частях неравенства уже одинаковы и равны $a = \frac{2}{5}$.
Так как основание $a = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{2}{5})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$x+2 < -1$
Перенесем 2 в правую часть:
$x < -1 - 2$
$x < -3$
Решение неравенства в виде интервала: $(-\infty, -3)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.

4) $(\frac{1}{4})^{x^2-x} < \frac{1}{16}$
Приведем обе части к основанию $\frac{1}{4}$.
Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{4}$: $\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = (\frac{1}{4})^2$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{4})^{x^2-x} < (\frac{1}{4})^2$.
Так как основание $a = \frac{1}{4}$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.
$x^2 - x > 2$
Переносим все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:
$x^2 - x - 2 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Используя теорему Виета (сумма корней равна 1, произведение равно -2), находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны ($>0$) вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.

5) $(\frac{1}{5})^{3-x} < 25$
Приведем обе части к одному основанию, например, к 5.
Левая часть: $(\frac{1}{5})^{3-x} = (5^{-1})^{3-x} = 5^{-(3-x)} = 5^{x-3}$.
Правая часть: $25 = 5^2$.
Неравенство принимает вид: $5^{x-3} < 5^2$.
Так как основание $a = 5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.
$x - 3 < 2$
$x < 2 + 3$
$x < 5$
Ответ: $x \in (-\infty, 5)$.

6) $(\frac{1}{3})^{x+2} < 9$
Приведем обе части к одному основанию, например, к 3.
Левая часть: $(\frac{1}{3})^{x+2} = (3^{-1})^{x+2} = 3^{-(x+2)} = 3^{-x-2}$.
Правая часть: $9 = 3^2$.
Неравенство принимает вид: $3^{-x-2} < 3^2$.
Так как основание $a = 3 > 1$, показательная функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.
$-x - 2 < 2$
$-x < 2 + 2$
$-x < 4$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > -4$
Ответ: $x \in (-4, +\infty)$.