Страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Көрсеткіштік теңсіздіктерді шешу кезінде қойылатын негізгі талаптар көрсеткіштік функцияның монотондылық қасиетіне негізделген. Шешу процесі келесі қадамдардан тұрады:

Біріншіден, теңсіздіктің екі жағын да бірдей негізге келтіру қажет. Яғни, теңсіздік $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ (немесе $<, \leq, \geq$) түріне келтіріледі. Мұндағы негіз $a$ оң сан және бірге тең емес болуы шарт ($a > 0, a \neq 1$).

Екіншіден, негіздің $a$ мәніне талдау жасалады. Осыған байланысты екі жағдай қарастырылады:

а) Егер негіз $a > 1$ болса, онда $y=a^x$ көрсеткіштік функциясы өспелі болады. Бұл жағдайда дәреже көрсеткіштерінен құралған теңсіздікке көшкенде теңсіздік белгісі сақталады. Яғни, $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ теңсіздігі $f(x) > g(x)$ теңсіздігіне мәндес болады.

б) Егер негіз $0 < a < 1$ болса, онда $y=a^x$ көрсеткіштік функциясы кемімелі болады. Бұл жағдайда дәреже көрсеткіштерінен құралған теңсіздікке көшкенде теңсіздік белгісі қарама-қарсы таңбаға өзгереді. Яғни, $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ теңсіздігі $f(x) < g(x)$ теңсіздігіне мәндес болады.

Үшіншіден, дәреже көрсеткіштерінен алынған жаңа (әдетте, рационал) теңсіздік шешіледі. Осы теңсіздіктің шешімі бастапқы көрсеткіштік теңсіздіктің де шешімі болып табылады.

Ответ: Көрсеткіштік теңсіздіктерді шешудің негізгі талаптары: теңсіздіктің екі жағын да бірдей негізге келтіру ($a^{f(x)} > a^{g(x)}$); егер негіз $a > 1$ болса, теңсіздік белгісін сақтап ($f(x) > g(x)$), ал егер негіз $0 < a < 1$ болса, теңсіздік белгісін қарама-қарсыға өзгертіп ($f(x) < g(x)$), дәреже көрсеткіштерінің теңсіздігіне көшу.

2. Көрсеткіштік теңсіздікті шешу жолы мен бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздікті шешу жолында бірнеше маңызды ұқсастықтар бар:

1.Теңсіздікті қарапайым түрге келтіру. Екі жағдайда да теңсіздік шешімі оңай табылатын қарапайым түрге келтіріледі. Сызықтық теңсіздікте айнымалыны оқшаулау үшін мәндес түрлендірулер жасалады. Көрсеткіштік теңсіздікте де оны $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ түріне келтіріп, одан кейін $f(x)$ пен $g(x)$ арқылы жазылған жаңа, әлдеқайда қарапайым теңсіздікке көшеді. Көбінесе, бұл жаңа теңсіздіктің өзі сызықтық болып шығады. Мысалы, $5^{3x-2} > 25$ теңсіздігін шешу $5^{3x-2} > 5^2$ түріне, содан кейін $3x-2 > 2$ сызықтық теңсіздігін шешуге әкеледі.

2.Теңсіздік белгісінің өзгеру ережесі. Екі түрдегі теңсіздікте де белгілі бір шарттар орындалғанда теңсіздік белгісінің бағыты өзгереді.Сызықтық теңсіздікте, теңсіздіктің екі жағын да бірдей теріс санға көбейткенде немесе бөлгенде теңсіздік белгісі қарама-қарсыға өзгереді. Мысалы, $-3x < 12$ теңсіздігін $-3$-ке бөлсек, $x > -4$ аламыз.Көрсеткіштік теңсіздікте, егер негіз $0$ мен $1$ аралығында ($0 < a < 1$) болса, дәреже көрсеткіштерінің теңсіздігіне көшкенде теңсіздік белгісі қарама-қарсыға өзгереді. Мысалы, $(0.5)^{x+1} > (0.5)^{2x}$ теңсіздігі $x+1 < 2x$ теңсіздігіне мәндес болады.Бұл екі ереже де негізінде функциялардың қасиеттеріне сүйенеді (бірі – теріс санға көбейту амалына, екіншісі – кемімелі көрсеткіштік функцияның қасиетіне).

3.Мәндес (эквивалентті) түрлендірулер. Екі теңсіздікті де шешу барысында шешімдер жиынын өзгертпейтін мәндес түрлендірулер қолданылады. Бұл – теңсіздіктерді шешудің жалпы математикалық негізі.

Ответ: Негізгі ұқсастықтар мыналар: 1) Екі теңсіздік түрі де айнымалыны табу үшін қарапайым түрге келтіріледі, әрі көрсеткіштік теңсіздіктер жиі сызықтық теңсіздіктерді шешуге әкеледі. 2) Екі жағдайда да белгілі бір шарт орындалғанда (сызықтық үшін – теріс санға көбейту/бөлу; көрсеткіштік үшін – негіздің $0 < a < 1$ болуы) теңсіздік белгісі қарама-қарсыға өзгереді.

1) $3^x > \frac{1}{27}$
Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3.
Представим правую часть в виде степени с основанием 3: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
Неравенство принимает вид: $3^x > 3^{-3}$.
Так как основание степени $a = 3$ больше 1 ($3 > 1$), показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется.
$x > -3$
Решение неравенства в виде интервала: $(-3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-3, +\infty)$.

2) $2^x < \frac{1}{8}$
Приведем обе части к основанию 2.
Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Неравенство принимает вид: $2^x < 2^{-3}$.
Так как основание $a = 2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.
$x < -3$
Решение неравенства в виде интервала: $(-\infty, -3)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.

3) $(\frac{2}{5})^{x+2} > (\frac{2}{5})^{-1}$
Основания степеней в обеих частях неравенства уже одинаковы и равны $a = \frac{2}{5}$.
Так как основание $a = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{2}{5})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$x+2 < -1$
Перенесем 2 в правую часть:
$x < -1 - 2$
$x < -3$
Решение неравенства в виде интервала: $(-\infty, -3)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.

4) $(\frac{1}{4})^{x^2-x} < \frac{1}{16}$
Приведем обе части к основанию $\frac{1}{4}$.
Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{4}$: $\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = (\frac{1}{4})^2$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{4})^{x^2-x} < (\frac{1}{4})^2$.
Так как основание $a = \frac{1}{4}$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.
$x^2 - x > 2$
Переносим все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:
$x^2 - x - 2 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Используя теорему Виета (сумма корней равна 1, произведение равно -2), находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны ($>0$) вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.

5) $(\frac{1}{5})^{3-x} < 25$
Приведем обе части к одному основанию, например, к 5.
Левая часть: $(\frac{1}{5})^{3-x} = (5^{-1})^{3-x} = 5^{-(3-x)} = 5^{x-3}$.
Правая часть: $25 = 5^2$.
Неравенство принимает вид: $5^{x-3} < 5^2$.
Так как основание $a = 5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.
$x - 3 < 2$
$x < 2 + 3$
$x < 5$
Ответ: $x \in (-\infty, 5)$.

6) $(\frac{1}{3})^{x+2} < 9$
Приведем обе части к одному основанию, например, к 3.
Левая часть: $(\frac{1}{3})^{x+2} = (3^{-1})^{x+2} = 3^{-(x+2)} = 3^{-x-2}$.
Правая часть: $9 = 3^2$.
Неравенство принимает вид: $3^{-x-2} < 3^2$.
Так как основание $a = 3 > 1$, показательная функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.
$-x - 2 < 2$
$-x < 2 + 2$
$-x < 4$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > -4$
Ответ: $x \in (-4, +\infty)$.