Страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} = 0$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы переписать второй член уравнения:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

Подставим это обратно в исходное уравнение:

$x^2 \cdot 3^x - 3 \cdot 3^x = 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(x^2 - 3) = 0$

Поскольку показательная функция $3^x$ всегда положительна ($3^x > 0$) при любом действительном $x$, то равенство нулю возможно только если выражение в скобках равно нулю:

$x^2 - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3}$.

2) $x^2 \cdot 5^x - 5^{2+x} = 0$

Перепишем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$5^{2+x} = 5^2 \cdot 5^x = 25 \cdot 5^x$

Подставим это в уравнение:

$x^2 \cdot 5^x - 25 \cdot 5^x = 0$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x(x^2 - 25) = 0$

Так как $5^x > 0$ для всех действительных $x$, приравниваем выражение в скобках к нулю:

$x^2 - 25 = 0$

Решаем это квадратное уравнение:

$x^2 = 25$

$x = \pm\sqrt{25}$

$x = \pm 5$

Ответ: $x_1 = -5, x_2 = 5$.

3) $x^3 \cdot 3^x + 3^{x+3} = 0$

Используя свойство степеней, преобразуем второй член:

$3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^x$

Уравнение принимает вид:

$x^3 \cdot 3^x + 27 \cdot 3^x = 0$

Выносим за скобки общий множитель $3^x$:

$3^x(x^3 + 27) = 0$

Так как $3^x$ никогда не равно нулю, то:

$x^3 + 27 = 0$

Решаем полученное кубическое уравнение:

$x^3 = -27$

$x = \sqrt[3]{-27}$

$x = -3$

Ответ: $x = -3$.

4) $x^3 \cdot 8^x - 8^{x+1} = 0$

Преобразуем уравнение с помощью свойства степеней:

$8^{x+1} = 8^x \cdot 8^1 = 8 \cdot 8^x$

Подставим в исходное уравнение:

$x^3 \cdot 8^x - 8 \cdot 8^x = 0$

Выносим общий множитель $8^x$ за скобки:

$8^x(x^3 - 8) = 0$

Поскольку $8^x > 0$ для любого действительного $x$, то:

$x^3 - 8 = 0$

Решаем кубическое уравнение:

$x^3 = 8$

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

269.1) Дана система показательных уравнений:
$ \begin{cases} 2 \cdot 4^x + 3 \cdot 5^y = 11, \\ 5 \cdot 4^x + 4 \cdot 5^y = 24. \end{cases} $
Для решения введем новые переменные. Пусть $a = 4^x$ и $b = 5^y$. Так как показательные функции всегда положительны, то $a > 0$ и $b > 0$.
После замены система примет вид системы линейных уравнений:
$ \begin{cases} 2a + 3b = 11, \\ 5a + 4b = 24. \end{cases} $
Решим эту систему методом алгебраического сложения (исключения). Умножим первое уравнение на 4, а второе на -3, чтобы исключить переменную $b$:
$ \begin{cases} 4 \cdot (2a + 3b) = 4 \cdot 11, \\ -3 \cdot (5a + 4b) = -3 \cdot 24. \end{cases} $
$ \begin{cases} 8a + 12b = 44, \\ -15a - 12b = -72. \end{cases} $
Теперь сложим два уравнения системы:
$(8a + 12b) + (-15a - 12b) = 44 - 72$
$-7a = -28$
$a = 4$
Подставим найденное значение $a=4$ в первое уравнение исходной линейной системы ($2a + 3b = 11$):
$2(4) + 3b = 11$
$8 + 3b = 11$
$3b = 3$
$b = 1$
Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
1) $a = 4^x \Rightarrow 4 = 4^x \Rightarrow x = 1$
2) $b = 5^y \Rightarrow 1 = 5^y \Rightarrow 5^0 = 5^y \Rightarrow y = 0$
Решением системы является пара чисел $(1, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$.

2) Дана система показательных уравнений:
$ \begin{cases} 2^x - 2^y = 1, \\ 2^{3x} - 2^{3y} = 7. \end{cases} $
Используем свойства степеней: $2^{3x} = (2^x)^3$ и $2^{3y} = (2^y)^3$. Введем новые переменные: пусть $u = 2^x$ и $v = 2^y$. Условия для переменных: $u > 0, v > 0$.
Система преобразуется к виду:
$ \begin{cases} u - v = 1, \\ u^3 - v^3 = 7. \end{cases} $
Во втором уравнении применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$(u-v)(u^2 + uv + v^2) = 7$
Из первого уравнения системы известно, что $u - v = 1$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:
$1 \cdot (u^2 + uv + v^2) = 7$
$u^2 + uv + v^2 = 7$
Теперь решим систему:
$ \begin{cases} u - v = 1, \\ u^2 + uv + v^2 = 7. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $u = v + 1$ и подставим во второе:
$(v+1)^2 + (v+1)v + v^2 = 7$
$(v^2 + 2v + 1) + (v^2 + v) + v^2 = 7$
$3v^2 + 3v + 1 = 7$
$3v^2 + 3v - 6 = 0$
Разделим все члены уравнения на 3:
$v^2 + v - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $v$. Его корни можно найти по теореме Виета: $v_1 + v_2 = -1$, $v_1 \cdot v_2 = -2$. Корни: $v_1 = 1$ и $v_2 = -2$.
Рассмотрим два случая:
1) Если $v = 1$. Тогда $u = v + 1 = 1 + 1 = 2$. Пара $(u,v) = (2,1)$ удовлетворяет условиям $u > 0, v > 0$.
2) Если $v = -2$. Это значение не является решением, так как $v = 2^y$ должно быть положительным.
Таким образом, подходит только пара $u = 2, v = 1$.
Выполним обратную замену:
1) $2^x = u \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow x = 1$
2) $2^y = v \Rightarrow 2^y = 1 \Rightarrow 2^y = 2^0 \Rightarrow y = 0$
Решением системы является пара чисел $(1, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 648 \\ 3^x \cdot 2^y = 432 \end{cases} $

Для решения этой системы можно перемножить и разделить уравнения друг на друга.

Сначала перемножим два уравнения системы:

$ (2^x \cdot 3^y) \cdot (3^x \cdot 2^y) = 648 \cdot 432 $

$ (2^x \cdot 2^y) \cdot (3^x \cdot 3^y) = 648 \cdot 432 $

$ 2^{x+y} \cdot 3^{x+y} = 648 \cdot 432 $

$ (2 \cdot 3)^{x+y} = 648 \cdot 432 $

$ 6^{x+y} = 648 \cdot 432 $

Разложим числа 648 и 432 на простые множители:

$ 648 = 8 \cdot 81 = 2^3 \cdot 3^4 $

$ 432 = 16 \cdot 27 = 2^4 \cdot 3^3 $

Тогда их произведение равно:

$ 648 \cdot 432 = (2^3 \cdot 3^4) \cdot (2^4 \cdot 3^3) = 2^{3+4} \cdot 3^{4+3} = 2^7 \cdot 3^7 = (2 \cdot 3)^7 = 6^7 $

Получаем уравнение:

$ 6^{x+y} = 6^7 $

Отсюда следует, что $ x + y = 7 $.

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$ \frac{2^x \cdot 3^y}{3^x \cdot 2^y} = \frac{648}{432} $

$ \frac{2^x}{2^y} \cdot \frac{3^y}{3^x} = \frac{2^3 \cdot 3^4}{2^4 \cdot 3^3} $

$ 2^{x-y} \cdot 3^{y-x} = \frac{3}{2} $

$ 2^{x-y} \cdot (3^{-1})^{x-y} = \frac{3}{2} $

$ 2^{x-y} \cdot (\frac{1}{3})^{x-y} = \frac{3}{2} $

$ (\frac{2}{3})^{x-y} = \frac{3}{2} $

Так как $ \frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1} $, получаем:

$ (\frac{2}{3})^{x-y} = (\frac{2}{3})^{-1} $

Отсюда следует, что $ x - y = -1 $.

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = -1 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$ (x+y) + (x-y) = 7 + (-1) $

$ 2x = 6 $

$ x = 3 $

Подставим значение $x$ в первое уравнение $ x + y = 7 $:

$ 3 + y = 7 $

$ y = 4 $

Ответ: $x=3, y=4$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576 \\ y - x = 4 \end{cases} $

Для решения этой системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$ y = x + 4 $

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$ 3^x \cdot 2^{x+4} = 576 $

Используя свойство степеней $ a^{m+n} = a^m \cdot a^n $, преобразуем левую часть:

$ 3^x \cdot (2^x \cdot 2^4) = 576 $

$ (3^x \cdot 2^x) \cdot 2^4 = 576 $

Используя свойство $ a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m $:

$ (3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576 $

$ 6^x \cdot 16 = 576 $

Разделим обе части уравнения на 16:

$ 6^x = \frac{576}{16} $

$ 6^x = 36 $

Так как $ 36 = 6^2 $, получаем:

$ 6^x = 6^2 $

Отсюда $ x = 2 $.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в уравнение $ y = x + 4 $:

$ y = 2 + 4 $

$ y = 6 $

Ответ: $x=2, y=6$.

1) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{x}} (\frac{1}{3})^x = 1$

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$.

2. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим левую часть уравнения:

$(\frac{1}{3})^{\sqrt{x} + x} = 1$

3. Представим число 1 в правой части как степень с основанием $\frac{1}{3}$, зная, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1: $1 = (\frac{1}{3})^0$.

$(\frac{1}{3})^{\sqrt{x} + x} = (\frac{1}{3})^0$

4. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\sqrt{x} + x = 0$

5. Решим полученное уравнение. В области допустимых значений ($x \ge 0$), оба слагаемых, $\sqrt{x}$ и $x$, являются неотрицательными. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Следовательно, $x = 0$ и $\sqrt{x} = 0$, что дает единственное решение $x = 0$.

6. Данное решение $x=0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \ge 0$).

Ответ: $0$.

2) $\sqrt{6-x} (5^{x^2 - 7,2x + 3,4} - 25) = 0$

Решение:

1. Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, которое равно нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен). Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

$6 - x \ge 0 \implies x \le 6$.

2. Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$\sqrt{6-x} = 0$

$6 - x = 0$

$x_1 = 6$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($6 \le 6$).

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$5^{x^2 - 7,2x + 3,4} - 25 = 0$

$5^{x^2 - 7,2x + 3,4} = 25$

$5^{x^2 - 7,2x + 3,4} = 5^2$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 - 7,2x + 3,4 = 2$

$x^2 - 7,2x + 1,4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7,2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1,4 = 51,84 - 5,6 = 46,24$

$\sqrt{D} = \sqrt{46,24} = 6,8$

$x_2 = \frac{7,2 + 6,8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_3 = \frac{7,2 - 6,8}{2} = \frac{0,4}{2} = 0,2$

3. Проверим найденные корни $x_2$ и $x_3$ на соответствие ОДЗ ($x \le 6$).

Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет условию $7 \le 6$, поэтому это посторонний корень.

Корень $x_3 = 0,2$ удовлетворяет условию $0,2 \le 6$.

4. Объединим все подходящие корни: $x_1=6$ и $x_3=0,2$.

Ответ: $0,2; 6$.

3) $4^{-x+0,5} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 = 0$

Решение:

1. Область допустимых значений для данного уравнения — все действительные числа, $x \in R$.

2. Преобразуем уравнение, выразив $4$ через $2$:

$4^{-x+0,5} = (2^2)^{-x+0,5} = 2^{2(-x+0,5)} = 2^{-2x+1} = 2^{-2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^{-x})^2$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$2 \cdot (2^{-x})^2 - 7 \cdot 2^{-x} - 4 = 0$

3. Введем замену переменной. Пусть $t = 2^{-x}$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, имеем ограничение $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$2t^2 - 7t - 4 = 0$

4. Решим квадратное уравнение:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

$\sqrt{D} = 9$

$t_1 = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$t_2 = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$

5. Сравним полученные значения $t$ с условием $t > 0$.

$t_1 = 4$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -0,5$ не удовлетворяет условию, поэтому это посторонний корень.

6. Выполним обратную замену для $t=4$:

$2^{-x} = 4$

$2^{-x} = 2^2$

$-x = 2$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

4) $\sqrt{x+3} (7^{x^2 - 6,5x + 5} - 49) = 0$

Решение:

1. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом определены. Найдем ОДЗ из условия неотрицательности подкоренного выражения:

$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

2. Рассмотрим два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$\sqrt{x+3} = 0$

$x + 3 = 0$

$x_1 = -3$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($-3 \ge -3$).

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$7^{x^2 - 6,5x + 5} - 49 = 0$

$7^{x^2 - 6,5x + 5} = 49$

$7^{x^2 - 6,5x + 5} = 7^2$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 - 6,5x + 5 = 2$

$x^2 - 6,5x + 3 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 2:

$2x^2 - 13x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121$

$\sqrt{D} = 11$

$x_2 = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$x_3 = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

3. Проверим найденные корни $x_2$ и $x_3$ на соответствие ОДЗ ($x \ge -3$).

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию ($6 \ge -3$).

Корень $x_3 = 0,5$ удовлетворяет условию ($0,5 \ge -3$).

4. Все три найденных корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-3; 0,5; 6$.

1) Исходное уравнение: $8^x + 3 \cdot 4^x = 12 + 2^{x+2}$. Приведем все степени к основанию 2, так как $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$. Уравнение принимает вид: $(2^3)^x + 3 \cdot (2^2)^x = 12 + 2^x \cdot 2^2$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2^{3x} + 3 \cdot 2^{2x} = 12 + 4 \cdot 2^x$. Перенесем все члены в левую часть: $2^{3x} + 3 \cdot 2^{2x} - 4 \cdot 2^x - 12 = 0$. Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $2^x$ всегда положительна, то $t > 0$. После замены уравнение становится кубическим относительно $t$: $t^3 + 3t^2 - 4t - 12 = 0$. Разложим левую часть на множители методом группировки: $t^2(t + 3) - 4(t + 3) = 0$. $(t^2 - 4)(t + 3) = 0$. $(t - 2)(t + 2)(t + 3) = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = -2$, $t_3 = -3$. Теперь вернемся к замене $t = 2^x$ и учтем условие $t > 0$. - Если $t = 2$, то $2^x = 2$, откуда $x = 1$. - Если $t = -2$, то $2^x = -2$. Это уравнение не имеет действительных решений. - Если $t = -3$, то $2^x = -3$. Это уравнение также не имеет действительных решений. Таким образом, единственным решением является $x=1$. Ответ: $x = 1$.

2) Исходное уравнение: $3^{1+3x} - 9^x = 3^{x+2} - 3$. Приведем все степени к основанию 3, так как $9 = 3^2$. $3^1 \cdot 3^{3x} - (3^2)^x = 3^x \cdot 3^2 - 3$. $3 \cdot 3^{3x} - 3^{2x} = 9 \cdot 3^x - 3$. Перенесем все члены в левую часть: $3 \cdot 3^{3x} - 3^{2x} - 9 \cdot 3^x + 3 = 0$. Сделаем замену. Пусть $y = 3^x$, где $y > 0$. Уравнение принимает вид: $3y^3 - y^2 - 9y + 3 = 0$. Разложим на множители левую часть методом группировки: $y^2(3y - 1) - 3(3y - 1) = 0$. $(y^2 - 3)(3y - 1) = 0$. Отсюда получаем два случая: 1. $y^2 - 3 = 0 \implies y^2 = 3 \implies y = \sqrt{3}$ или $y = -\sqrt{3}$. 2. $3y - 1 = 0 \implies 3y = 1 \implies y = 1/3$. Вернемся к переменной $x$, учитывая, что $y > 0$: - $y = \sqrt{3} \implies 3^x = \sqrt{3} \implies 3^x = 3^{1/2} \implies x = 1/2$. - $y = -\sqrt{3}$ не является решением, так как $y$ должно быть положительным. - $y = 1/3 \implies 3^x = 1/3 \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1$. Уравнение имеет два корня. Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1/2$.

3) Исходное уравнение: $16^x + 8^x - 4 \cdot 4^x + 2^{x+1} + 1 = 0$. Приведем все степени к основанию 2: $16=2^4, 8=2^3, 4=2^2$. $(2^4)^x + (2^3)^x - 4 \cdot (2^2)^x + 2 \cdot 2^x + 1 = 0$. $2^{4x} + 2^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 2^x + 1 = 0$. Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$. $t^4 + t^3 - 4t^2 + 2t + 1 = 0$. Уравнение в таком виде не имеет простых рациональных корней. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если предположить, что вместо $2^{x+1}$ должно быть $2^x$, то уравнение становится решаемым в целых числах. Решим исправленное уравнение: $16^x + 8^x - 4 \cdot 4^x + 2^x + 1 = 0$. В переменных $t$ оно выглядит так: $t^4 + t^3 - 4t^2 + t + 1 = 0$. Проверим $t=1$: $1^4 + 1^3 - 4(1)^2 + 1 + 1 = 1 + 1 - 4 + 1 + 1 = 0$. Значит, $t=1$ — корень. Разделим многочлен на $(t-1)$, например, по схеме Горнера: $(t-1)(t^3 + 2t^2 - 2t - 1) = 0$. Решаем кубическое уравнение $t^3 + 2t^2 - 2t - 1 = 0$. Проверим снова $t=1$: $1^3 + 2(1)^2 - 2(1) - 1 = 1 + 2 - 2 - 1 = 0$. Значит, $t=1$ — корень кратности как минимум 2. Разделим $t^3 + 2t^2 - 2t - 1$ на $(t-1)$: $(t-1)(t^2 + 3t + 1) = 0$. Полное разложение: $(t-1)^2(t^2 + 3t + 1) = 0$. Оставшееся квадратное уравнение $t^2 + 3t + 1 = 0$ имеет корни $t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Оба эти корня отрицательны, поэтому они не удовлетворяют условию $t > 0$. Единственным подходящим решением для $t$ является $t=1$. Возвращаемся к замене: $2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$. Ответ: при предположении опечатки в условии ($2^x$ вместо $2^{x+1}$), $x = 0$.

4) Исходное уравнение: $3 \cdot 8^x + 4 \cdot 12^x - 18^x - 2 \cdot 27^x = 0$. Запишем основания степеней через их простые множители 2 и 3: $8=2^3, 12=2^2 \cdot 3, 18=2 \cdot 3^2, 27=3^3$. $3 \cdot (2^3)^x + 4 \cdot (2^2 \cdot 3)^x - (2 \cdot 3^2)^x - 2 \cdot (3^3)^x = 0$. $3 \cdot 2^{3x} + 4 \cdot (2^{2x} \cdot 3^x) - (2^x \cdot 3^{2x}) - 2 \cdot 3^{3x} = 0$. Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $3^{3x}$ (это выражение не равно нулю ни при каком $x$): $3 \cdot \frac{2^{3x}}{3^{3x}} + 4 \cdot \frac{2^{2x}3^x}{3^{3x}} - \frac{2^x3^{2x}}{3^{3x}} - 2 \cdot \frac{3^{3x}}{3^{3x}} = 0$. $3 \left(\frac{2}{3}\right)^{3x} + 4 \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0$. Сделаем замену $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Так как основание степени положительно, то $t > 0$. Получаем кубическое уравнение: $3t^3 + 4t^2 - t - 2 = 0$. Найдем корни этого уравнения. Возможные рациональные корни по теореме о рациональных корнях: $\pm 1, \pm 2, \pm 1/3, \pm 2/3$. Подставим $t = 2/3$: $3(\frac{8}{27}) + 4(\frac{4}{9}) - \frac{2}{3} - 2 = \frac{8}{9} + \frac{16}{9} - \frac{6}{9} - \frac{18}{9} = \frac{24-24}{9} = 0$. Значит, $t=2/3$ — корень. Подставим $t = -1$: $3(-1)^3 + 4(-1)^2 - (-1) - 2 = -3 + 4 + 1 - 2 = 0$. Значит, $t=-1$ — корень. Зная два корня, можем разложить многочлен на множители: $(t - 2/3)(t+1) = (3t-2)/3 \cdot (t+1)$. Значит, многочлен делится на $(3t-2)(t+1) = 3t^2 + t - 2$. Выполнив деление, получаем: $(3t^3 + 4t^2 - t - 2) : (3t^2 + t - 2) = t+1$. Таким образом, уравнение можно записать в виде $(3t-2)(t+1)^2=0$. Корни уравнения: $t_1 = 2/3$ и $t_2 = -1$. Учитывая условие $t > 0$, подходит только корень $t = 2/3$. Вернемся к замене: $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3}$, откуда $x=1$. Ответ: $x = 1$.

1) $5^x \cdot \sqrt[3]{8^{x-1}} = 500$

Преобразуем выражение под корнем: $8 = 2^3$.

$\sqrt[3]{8^{x-1}} = \sqrt[3]{(2^3)^{x-1}} = \sqrt[3]{2^{3(x-1)}} = 2^{\frac{3(x-1)}{3}} = 2^{x-1}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$5^x \cdot 2^{x-1} = 500$

Используем свойство степени $a^{m-n} = a^m / a^n$:

$5^x \cdot \frac{2^x}{2^1} = 500$

Сгруппируем степени с одинаковым показателем $x$:

$\frac{(5 \cdot 2)^x}{2} = 500$

$\frac{10^x}{2} = 500$

Умножим обе части на 2:

$10^x = 1000$

Представим 1000 как степень 10:

$10^x = 10^3$

Отсюда следует, что $x=3$.

Ответ: $3$.

2) $x^2 + 4x + 2^{\sqrt{x+2}} + 3 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Перегруппируем слагаемые в уравнении:

$(x^2 + 4x + 3) + 2^{\sqrt{x+2}} = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = (x^2 + 4x + 3) + 2^{\sqrt{x+2}}$ на области определения $x \ge -2$.

Найдем значение функции в точке $x = -2$:

$f(-2) = ((-2)^2 + 4(-2) + 3) + 2^{\sqrt{-2+2}} = (4 - 8 + 3) + 2^{\sqrt{0}} = -1 + 2^0 = -1 + 1 = 0$.

Таким образом, $x = -2$ является корнем уравнения.

Исследуем поведение функции при $x > -2$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^2 + 4x + 3)' + (2^{\sqrt{x+2}})' = (2x+4) + 2^{\sqrt{x+2}} \cdot \ln 2 \cdot (\sqrt{x+2})' = 2(x+2) + 2^{\sqrt{x+2}} \cdot \ln 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

При $x > -2$ все слагаемые в производной положительны: $x+2 > 0$, $2^{\sqrt{x+2}} > 0$, $\ln 2 > 0$, $\sqrt{x+2} > 0$.

Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x > -2$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на промежутке $(-2, +\infty)$.

Поскольку $f(-2)=0$ и функция строго возрастает при $x > -2$, других корней у уравнения нет.

Ответ: $-2$.

3) $\sqrt{4^{2x} - 3 \cdot 2^{2x}} = 10 - 2^{2x+1}$

Упростим степени: $4^{2x} = (2^2)^{2x} = 2^{4x}$ и $2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x}$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{2^{4x} - 3 \cdot 2^{2x}} = 10 - 2 \cdot 2^{2x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$, то $t > 0$.

$\sqrt{t^2 - 3t} = 10 - 2t$

Для существования решения необходимо выполнение условий (ОДЗ):

1) $t^2 - 3t \ge 0 \implies t(t-3) \ge 0$. Так как $t > 0$, то $t \ge 3$.

2) $10 - 2t \ge 0 \implies 10 \ge 2t \implies t \le 5$.

Объединяя условия, получаем $3 \le t \le 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$t^2 - 3t = (10-2t)^2$

$t^2 - 3t = 100 - 40t + 4t^2$

$3t^2 - 37t + 100 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$:

$D = (-37)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1369 - 1200 = 169 = 13^2$

$t_{1,2} = \frac{37 \pm 13}{6}$

$t_1 = \frac{37+13}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$.

$t_2 = \frac{37-13}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

Проверим корни по ОДЗ $3 \le t \le 5$.

$t_1 = 25/3 \approx 8.33$, что не входит в ОДЗ.

$t_2 = 4$, что входит в ОДЗ.

Единственный подходящий корень $t=4$. Сделаем обратную замену:

$2^{2x} = 4$

$2^{2x} = 2^2$

$2x = 2$

$x = 1$

Ответ: $1$.

4) $(\sqrt{3-2\sqrt{2}})^x + (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^x = 6$

Упростим выражения под корнями, выделив полный квадрат:

$3-2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{2}-1)^2$

$3+2\sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{2}+1)^2$

Подставим в уравнение:

$(\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2})^x + (\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2})^x = 6$

$(\sqrt{2}-1)^x + (\sqrt{2}+1)^x = 6$

Заметим, что основания степеней являются взаимно обратными числами:

$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1=1 \implies \sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

Сделаем замену. Пусть $t = (\sqrt{2}+1)^x$. Тогда $(\sqrt{2}-1)^x = ((\sqrt{2}+1)^{-1})^x = t^{-1} = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{t} + t = 6$

Умножим на $t$ (где $t>0$):

$1 + t^2 = 6t$

$t^2 - 6t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$

$t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $t_1 = 3+2\sqrt{2}$. Заметим, что $3+2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$.

$(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^2 \implies x=2$.

2) $t_2 = 3-2\sqrt{2}$. Заметим, что $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2 = ((\sqrt{2}+1)^{-1})^2 = (\sqrt{2}+1)^{-2}$.

$(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^{-2} \implies x=-2$.

Ответ: $-2; 2$.

5) $(\sqrt{7+4\sqrt{3}})^x - (\sqrt{7-4\sqrt{3}})^x = 14$

Упростим выражения под корнями, выделив полный квадрат:

$7+4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$

$7-4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2$

Подставим в уравнение:

$(\sqrt{(2+\sqrt{3})^2})^x - (\sqrt{(2-\sqrt{3})^2})^x = 14$

$(2+\sqrt{3})^x - (2-\sqrt{3})^x = 14$

Заметим, что основания степеней являются взаимно обратными числами:

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1 \implies 2-\sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$.

Сделаем замену. Пусть $t = (2+\sqrt{3})^x$. Тогда $(2-\sqrt{3})^x = t^{-1} = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$t - \frac{1}{t} = 14$

Умножим на $t$ (где $t>0$):

$t^2 - 1 = 14t$

$t^2 - 14t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 196 + 4 = 200$

$t_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{200}}{2} = \frac{14 \pm 10\sqrt{2}}{2} = 7 \pm 5\sqrt{2}$.

Так как $t = (2+\sqrt{3})^x$ должно быть положительным, отбрасываем корень $t_2 = 7-5\sqrt{2}$ (поскольку $7 = \sqrt{49}$, $5\sqrt{2} = \sqrt{50}$, то $7-5\sqrt{2} < 0$).

Остается $t = 7+5\sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

$(2+\sqrt{3})^x = 7+5\sqrt{2}$

Прологарифмируем обе части по основанию $2+\sqrt{3}$:

$x = \log_{2+\sqrt{3}}(7+5\sqrt{2})$

Ответ: $\log_{2+\sqrt{3}}(7+5\sqrt{2})$.

6) $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = 2$

Упростим выражения под корнями по формуле сложного радикала $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$:

$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{4-3}}{2}} + \sqrt{\frac{2-\sqrt{4-3}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{4-3}}{2}} - \sqrt{\frac{2-\sqrt{4-3}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$

Подставим в уравнение:

$\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)^x + \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)^x = 2$

Заметим, что основания степеней взаимно обратны:

$\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{3-1}{2} = 1$.

Сделаем замену. Пусть $t = \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)^x$. Тогда $\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)^x = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{t} + t = 2$

Умножим на $t$ (где $t>0$):

$1 + t^2 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t=1$

Сделаем обратную замену:

$\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)^x = 1$

Так как основание степени не равно 1, равенство выполняется только тогда, когда показатель степени равен 0.

$x=0$

Ответ: $0$.

1) $9 \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{\left|1+\frac{1}{2}x\right|} = \frac{1}{81^x}$

Приведем все множители к основанию 3.

$9 = 3^2$

$\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$

$\frac{1}{81^x} = 81^{-x} = (3^4)^{-x} = 3^{-4x}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3^2 \cdot (3^{-3})^{\left|1+\frac{1}{2}x\right|} = 3^{-4x}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$3^{2 - 3\left|1+\frac{1}{2}x\right|} = 3^{-4x}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 - 3\left|1+\frac{1}{2}x\right| = -4x$

$3\left|1+\frac{1}{2}x\right| = 2 + 4x$

Уравнение вида $|f(x)| = g(x)$ равносильно системе, в которой $g(x) \ge 0$.

Наложим ограничение на правую часть: $2 + 4x \ge 0 \implies 4x \ge -2 \implies x \ge -0.5$.

Теперь рассмотрим два случая раскрытия модуля:

Случай A: $1+\frac{1}{2}x \ge 0$. Тогда $|1+\frac{1}{2}x| = 1+\frac{1}{2}x$.

$3\left(1+\frac{1}{2}x\right) = 2 + 4x$

$3 + \frac{3}{2}x = 2 + 4x$

$1 = 4x - \frac{3}{2}x$

$1 = \frac{5}{2}x \implies x = \frac{2}{5} = 0.4$.

Корень $x=0.4$ удовлетворяет условию $x \ge -0.5$.

Случай Б: $1+\frac{1}{2}x < 0$. Тогда $|1+\frac{1}{2}x| = -(1+\frac{1}{2}x)$.

$3\left(-\left(1+\frac{1}{2}x\right)\right) = 2 + 4x$

$-3 - \frac{3}{2}x = 2 + 4x$

$-5 = 4x + \frac{3}{2}x$

$-5 = \frac{11}{2}x \implies x = -\frac{10}{11}$.

Корень $x = -\frac{10}{11} \approx -0.91$ не удовлетворяет условию $x \ge -0.5$, следовательно, является посторонним.

Ответ: $x=0.4$

2) $2^{|x - 1|} = 0.5^{1 - x}$

Приведем правую часть уравнения к основанию 2.

$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Подставим в уравнение:

$2^{|x - 1|} = (2^{-1})^{1 - x}$

$2^{|x - 1|} = 2^{-1(1 - x)}$

$2^{|x - 1|} = 2^{x - 1}$

Приравниваем показатели степеней:

$|x - 1| = x - 1$

Равенство $|a| = a$ выполняется тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.

Следовательно, $x - 1 \ge 0$.

$x \ge 1$.

Ответ: $[1; +\infty)$

3) $27^{|x + 2|} = 81^{x^2 - 1}$

Приведем обе части уравнения к основанию 3.

$27 = 3^3$

$81 = 3^4$

Подставим в уравнение:

$(3^3)^{|x + 2|} = (3^4)^{x^2 - 1}$

$3^{3|x + 2|} = 3^{4(x^2 - 1)}$

Приравниваем показатели степеней:

$3|x + 2| = 4(x^2 - 1)$

$3|x + 2| = 4x^2 - 4$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай A: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Тогда $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид:

$3(x + 2) = 4x^2 - 4$

$3x + 6 = 4x^2 - 4$

$4x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(4)(-10) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1.25$.

Оба корня ($2$ и $-1.25$) удовлетворяют условию $x \ge -2$.

Случай Б: $x + 2 < 0 \implies x < -2$.

Тогда $|x + 2| = -(x + 2)$. Уравнение принимает вид:

$3(-(x + 2)) = 4x^2 - 4$

$-3x - 6 = 4x^2 - 4$

$4x^2 + 3x + 2 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(4)(2) = 9 - 32 = -23$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $x_1=2, x_2=-1.25$

4) $(0.2)^{|x + 3|} = \left(\frac{1}{5}\right)^{x + 1}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию.

$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Уравнение принимает вид:

$\left(\frac{1}{5}\right)^{|x + 3|} = \left(\frac{1}{5}\right)^{x + 1}$

Приравниваем показатели степеней:

$|x + 3| = x + 1$

Как и в задаче 1, правая часть должна быть неотрицательной: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Раскрываем модуль:

Случай А: $x + 3 = x + 1$

$3 = 1$. Это неверное равенство, решений нет.

Случай Б: $x + 3 = -(x + 1)$

$x + 3 = -x - 1$

$2x = -4$

$x = -2$

Проверяем корень $x=-2$ по условию $x \ge -1$.

$-2 < -1$, следовательно, корень не удовлетворяет ограничению и является посторонним.

Таким образом, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет

275.1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - \sqrt{49} = y - \sqrt[3]{343} \\ 3^y = 9^{2x-y} \end{cases} $$

Упростим первое уравнение. Так как $\sqrt{49} = 7$ и $\sqrt[3]{343} = \sqrt[3]{7^3} = 7$, уравнение принимает вид:

$x - 7 = y - 7$

Отсюда следует, что $x = y$.

Теперь упростим второе уравнение. Представим $9$ как $3^2$:

$3^y = (3^2)^{2x-y}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$3^y = 3^{2(2x-y)}$

$3^y = 3^{4x-2y}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять показатели:

$y = 4x - 2y$

$3y = 4x$

Теперь у нас есть упрощенная система линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x = y \\ 3y = 4x \end{cases} $$

Подставим $x = y$ во второе уравнение:

$3y = 4y$

$4y - 3y = 0$

$y = 0$

Поскольку $x = y$, то $x$ также равен 0.

Проверим решение $(0, 0)$, подставив его в исходную систему.

Первое уравнение: $0 - \sqrt{49} = 0 - \sqrt[3]{343} \implies -7 = -7$. Верно.

Второе уравнение: $3^0 = 9^{2(0)-0} \implies 1 = 9^0 \implies 1 = 1$. Верно.

Ответ: $(0, 0)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5 \cdot 3^{x-1} - 3 \cdot 2^y = -1 \\ 3^{x+1} + 5 \cdot 2^{y-1} = 14 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения, используя свойства степеней $a^{m-n} = a^m/a^n$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$$ \begin{cases} 5 \cdot \frac{3^x}{3} - 3 \cdot 2^y = -1 \\ 3 \cdot 3^x + 5 \cdot \frac{2^y}{2} = 14 \end{cases} $$

Введем замену переменных. Пусть $a = 3^x$ и $b = 2^y$. Так как показательные функции всегда положительны, $a > 0$ и $b > 0$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} \frac{5}{3}a - 3b = -1 \\ 3a + \frac{5}{2}b = 14 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$ \begin{cases} 5a - 9b = -3 \\ 6a + 5b = 28 \end{cases} $$

Решим эту систему линейных уравнений методом исключения. Умножим первое уравнение на 6, а второе на 5:

$$ \begin{cases} 30a - 54b = -18 \\ 30a + 25b = 140 \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(30a + 25b) - (30a - 54b) = 140 - (-18)$

$79b = 158$

$b = 2$

Подставим значение $b=2$ в уравнение $5a - 9b = -3$:

$5a - 9(2) = -3$

$5a - 18 = -3$

$5a = 15$

$a = 3$

Мы получили $a = 3$ и $b = 2$. Оба значения положительны, что соответствует условиям замены.

Теперь вернемся к исходным переменным:

$a = 3^x \implies 3 = 3^x \implies x = 1$

$b = 2^y \implies 2 = 2^y \implies y = 1$

Проверим решение $(1, 1)$, подставив его в исходную систему.

Первое уравнение: $5 \cdot 3^{1-1} - 3 \cdot 2^1 = 5 \cdot 3^0 - 6 = 5 \cdot 1 - 6 = -1$. Верно.

Второе уравнение: $3^{1+1} + 5 \cdot 2^{1-1} = 3^2 + 5 \cdot 2^0 = 9 + 5 \cdot 1 = 14$. Верно.

Ответ: $(1, 1)$.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3^{2x} - 2^y = 725, \\ 3^x - 2^{\frac{y}{2}} = 25; \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^{mn} = (a^m)^n$.

$3^{2x} = (3^x)^2$

$2^y = 2^{2 \cdot \frac{y}{2}} = (2^{\frac{y}{2}})^2$

Тогда первое уравнение можно записать в виде разности квадратов:

$(3^x)^2 - (2^{\frac{y}{2}})^2 = 725$

$(3^x - 2^{\frac{y}{2}})(3^x + 2^{\frac{y}{2}}) = 725$

Введем замену переменных для упрощения системы. Пусть $a = 3^x$ и $b = 2^{\frac{y}{2}}$. Так как основания степеней положительны, то $a > 0$ и $b > 0$.

Система уравнений примет вид:

$$ \begin{cases} (a - b)(a + b) = 725, \\ a - b = 25. \end{cases} $$

Подставим второе уравнение в первое:

$25 \cdot (a + b) = 725$

Разделим обе части на 25:

$a + b = \frac{725}{25} = 29$

Теперь у нас есть простая система линейных уравнений:

$$ \begin{cases} a - b = 25, \\ a + b = 29. \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$(a - b) + (a + b) = 25 + 29$

$2a = 54$

$a = 27$

Подставим значение $a$ во второе уравнение системы, чтобы найти $b$:

$27 + b = 29$

$b = 29 - 27 = 2$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

$a = 3^x = 27$

$3^x = 3^3$

$x = 3$

$b = 2^{\frac{y}{2}} = 2$

$2^{\frac{y}{2}} = 2^1$

$\frac{y}{2} = 1$

$y = 2$

Проверим найденное решение $(3; 2)$, подставив его в исходную систему:

Первое уравнение: $3^{2 \cdot 3} - 2^2 = 3^6 - 4 = 729 - 4 = 725$. Верно.

Второе уравнение: $3^3 - 2^{\frac{2}{2}} = 27 - 2^1 = 25$. Верно.

Ответ: $(3; 2)$

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 16^y - 4^x = 12, \\ 2^{x+1} - 4^y = 0. \end{cases} $$

Приведем все степени к основанию 2:

$16^y = (2^4)^y = 2^{4y}$

$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

$4^y = (2^2)^y = 2^{2y}$

Система примет вид:

$$ \begin{cases} 2^{4y} - 2^{2x} = 12, \\ 2^{x+1} - 2^{2y} = 0. \end{cases} $$

Рассмотрим второе уравнение:

$2^{x+1} - 2^{2y} = 0$

$2^{x+1} = 2^{2y}$

Так как основания степеней равны, можем приравнять показатели:

$x + 1 = 2y$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 2y - 1$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$2^{4y} - 2^{2(2y - 1)} = 12$

$2^{4y} - 2^{4y - 2} = 12$

Вынесем за скобки общий множитель $2^{4y - 2}$:

$2^{4y - 2} \cdot (2^{4y - (4y - 2)} - 1) = 12$

$2^{4y - 2} \cdot (2^2 - 1) = 12$

$2^{4y - 2} \cdot (4 - 1) = 12$

$2^{4y - 2} \cdot 3 = 12$

Разделим обе части на 3:

$2^{4y - 2} = 4$

Представим 4 как степень с основанием 2:

$2^{4y - 2} = 2^2$

Приравняем показатели:

$4y - 2 = 2$

$4y = 4$

$y = 1$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 2y - 1$:

$x = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$

Проверим найденное решение $(1; 1)$, подставив его в исходную систему:

Первое уравнение: $16^1 - 4^1 = 16 - 4 = 12$. Верно.

Второе уравнение: $2^{1+1} - 4^1 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Верно.

Ответ: $(1; 1)$