Страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1) Дано: $g(x) = e^{3x-6}$, $x_0 = 2$.

Решение:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$g(x_0) = g(2) = e^{3 \cdot 2 - 6} = e^{6-6} = e^0 = 1$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (e^{3x-6})' = e^{3x-6} \cdot (3x-6)' = 3e^{3x-6}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$g'(x_0) = g'(2) = 3e^{3 \cdot 2 - 6} = 3e^0 = 3$.

4. Подставим найденные значения $g(x_0) = 1$ и $g'(x_0) = 3$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 3(x - 2)$

$y = 1 + 3x - 6$

$y = 3x - 5$

Ответ: $y = 3x - 5$.

2) Дано: $f(x) = x^{-2} \cdot \ln(4x+3)$, $x_0 = -0,5$.

Решение:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -0,5$:

$f(x_0) = f(-0,5) = (-0,5)^{-2} \cdot \ln(4(-0,5)+3) = \frac{1}{(-0,5)^2} \cdot \ln(-2+3) = \frac{1}{0,25} \cdot \ln(1) = 4 \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^{-2})' \cdot \ln(4x+3) + x^{-2} \cdot (\ln(4x+3))' = -2x^{-3}\ln(4x+3) + x^{-2} \cdot \frac{4}{4x+3}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -0,5$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = -2(-0,5)^{-3}\ln(4(-0,5)+3) + (-0,5)^{-2} \cdot \frac{4}{4(-0,5)+3}$

$f'(-0,5) = -2 \cdot \frac{1}{(-0,125)} \cdot \ln(1) + \frac{1}{0,25} \cdot \frac{4}{1} = -2 \cdot (-8) \cdot 0 + 4 \cdot 4 = 16$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 16$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 16(x - (-0,5))$

$y = 16(x + 0,5)$

$y = 16x + 8$

Ответ: $y = 16x + 8$.

3) Дано: $f(x) = x^{-3} \cdot \ln(2x-3)$, $x_0 = 2$.

Решение:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = 2^{-3} \cdot \ln(2 \cdot 2 - 3) = \frac{1}{8} \cdot \ln(4-3) = \frac{1}{8} \cdot \ln(1) = \frac{1}{8} \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{-3})' \cdot \ln(2x-3) + x^{-3} \cdot (\ln(2x-3))' = -3x^{-4}\ln(2x-3) + x^{-3} \cdot \frac{2}{2x-3}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = f'(2) = -3(2)^{-4}\ln(2 \cdot 2 - 3) + 2^{-3} \cdot \frac{2}{2 \cdot 2 - 3}$

$f'(2) = -3 \cdot \frac{1}{16} \cdot \ln(1) + \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{1} = 0 + \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = \frac{1}{4}$ в уравнение касательной:

$y = 0 + \frac{1}{4}(x - 2)$

$y = \frac{1}{4}x - \frac{2}{4}$

$y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}$.

4) Дано: $f(x) = x^{-2} \cdot e^{1+2x}$, $x_0 = -0,5$.

Решение:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -0,5$:

$f(x_0) = f(-0,5) = (-0,5)^{-2} \cdot e^{1+2(-0,5)} = \frac{1}{0,25} \cdot e^{1-1} = 4 \cdot e^0 = 4$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{-2})' \cdot e^{1+2x} + x^{-2} \cdot (e^{1+2x})' = -2x^{-3}e^{1+2x} + x^{-2} \cdot 2e^{1+2x}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -0,5$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = -2(-0,5)^{-3}e^{1+2(-0,5)} + (-0,5)^{-2} \cdot 2e^{1+2(-0,5)}$

$f'(-0,5) = -2 \cdot \frac{1}{-0,125} \cdot e^0 + \frac{1}{0,25} \cdot 2e^0 = -2(-8) + 4 \cdot 2 = 16 + 8 = 24$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 4$ и $f'(x_0) = 24$ в уравнение касательной:

$y = 4 + 24(x - (-0,5))$

$y = 4 + 24(x + 0,5)$

$y = 4 + 24x + 12$

$y = 24x + 16$

Ответ: $y = 24x + 16$.

Берілген функция: $y = x + 2\ln x$.

Алдымен, функцияның анықталу облысын табамыз. Натурал логарифм $\ln x$ тек оң аргументтер үшін анықталған, сондықтан $x > 0$. Демек, функцияның анықталу облысы: $D(y) = (0; +\infty)$.

Енді функцияның туындысын табамыз. Қосындының туындысы және тұрақты көбейткіштің туындысы ережелерін қолданамыз:

$y' = (x + 2\ln x)' = (x)' + (2\ln x)' = 1 + 2 \cdot (\ln x)' = 1 + 2 \cdot \frac{1}{x} = 1 + \frac{2}{x}$.

Туындыны ортақ бөлімге келтіреміз:

$y' = \frac{x+2}{x}$.

Енді туындының таңбасын әр жағдай үшін анықтаймыз, $x > 0$ екенін ескере отырып.

1) нөлге тең:

Туындының нөлге тең болатын $x$ мәндерін табу үшін $y' = 0$ теңдеуін шешеміз:

$\frac{x+2}{x} = 0$

Бөлшек нөлге тең болуы үшін оның алымы нөлге тең, ал бөлімі нөлге тең болмауы керек.

$x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

Алынған $x = -2$ мәні функцияның анықталу облысына ($x>0$) кірмейді. Сондықтан, туынды нөлге тең болатын $x$ мәндері жоқ.

Ответ: шешімі жоқ.

2) оң:

Туындының оң болатын $x$ мәндерін табу үшін $y' > 0$ теңсіздігін шешеміз:

$\frac{x+2}{x} > 0$

Функцияның анықталу облысы $x > 0$ болғандықтан, $x$ (бөлімі) әрқашан оң. Сонымен қатар, егер $x > 0$ болса, онда $x+2$ (алымы) да әрқашан оң болады ($x+2 > 0+2=2$).

Оң санды оң санға бөлгенде нәтиже әрқашан оң болады. Демек, туынды $y'$ функцияның барлық анықталу облысында оң болады.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

3) теріс:

Туындының теріс болатын $x$ мәндерін табу үшін $y' < 0$ теңсіздігін шешеміз:

$\frac{x+2}{x} < 0$

2-пунктте көрсетілгендей, $x > 0$ болғанда $x$ және $x+2$ екеуі де оң. Екі оң санның қатынасы теріс бола алмайды. Сондықтан, бұл теңсіздіктің функцияның анықталу облысында шешімі жоқ.

Ответ: шешімі жоқ.

4) теріс емес:

Туындының теріс емес болатын $x$ мәндерін табу үшін $y' \ge 0$ теңсіздігін шешеміз:

$\frac{x+2}{x} \ge 0$

Бұл жағдай $y' > 0$ және $y' = 0$ жағдайларын біріктіреді.

1-пункттен біз $y' = 0$ теңдеуінің шешімі жоқ екенін білеміз.

2-пункттен біз $y' > 0$ теңсіздігінің шешімі $x \in (0; +\infty)$ екенін білеміз.

Осы екі жағдайды біріктірсек, туындының теріс емес болатын мәндерінің жиыны $x \in (0; +\infty)$ болады.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

Берілген $f(x) = x^2 - 2\ln x$ функциясының $[2; e^2]$ аралығындағы ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін келесі қадамдарды орындаймыз.

1. Функцияның туындысын тауып, кризистік нүктелерді анықтаймыз

Функцияның анықталу облысы $\ln x$ болуына байланысты $x>0$.

Функцияның туындысын табамыз:

$f'(x) = (x^2 - 2\ln x)' = (x^2)' - (2\ln x)' = 2x - 2 \cdot \frac{1}{x} = 2x - \frac{2}{x}$.

Туындыны ортақ бөлімге келтіреміз:

$f'(x) = \frac{2x^2 - 2}{x} = \frac{2(x^2 - 1)}{x} = \frac{2(x-1)(x+1)}{x}$.

Кризистік нүктелерді табу үшін туындыны нөлге теңестіреміз: $f'(x) = 0$.

$\frac{2(x-1)(x+1)}{x} = 0$.

Бұл теңдеудің шешімдері: $x-1=0 \implies x=1$ және $x+1=0 \implies x=-1$.

Анықталу облысы $x>0$ болғандықтан, тек $x=1$ кризистік нүктесін қарастырамыз.

2. Кризистік нүктенің берілген аралыққа тиістілігін тексереміз

Табылған кризистік нүкте $x=1$ берілген $[2; e^2]$ аралығына кірмейді, себебі $1 < 2$.

Бұл жағдайда функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері осы аралықтың шеткі нүктелерінде болады. Функцияның монотондылығын анықтау үшін $[2; e^2]$ аралығында туындының таңбасын тексереміз. Осы аралықтан кез келген нүктені алайық, мысалы $x=2$:

$f'(2) = 2(2) - \frac{2}{2} = 4 - 1 = 3 > 0$.

Туынды $[2; e^2]$ аралығында оң болғандықтан, $f(x)$ функциясы осы аралықта қатаң өспелі болады.

3. Аралықтың шеткі нүктелеріндегі функцияның мәндерін есептейміз

Функция өспелі болғандықтан, оның ең кіші мәні аралықтың сол жақ шетінде ($x=2$), ал ең үлкен мәні оң жақ шетінде ($x=e^2$) болады.

a) $x=2$ нүктесіндегі мән (ең кіші мән):

$f(2) = 2^2 - 2\ln 2 = 4 - 2\ln 2$.

b) $x=e^2$ нүктесіндегі мән (ең үлкен мән):

$f(e^2) = (e^2)^2 - 2\ln(e^2) = e^4 - 2 \cdot (2\ln e) = e^4 - 4 \cdot 1 = e^4 - 4$.

Сонымен, функцияның ең кіші мәні $4 - 2\ln 2$, ал ең үлкен мәні $e^4 - 4$.

Ответ: ең кіші мәні $4 - 2\ln 2$, ең үлкен мәні $e^4 - 4$.

1. Нахождение уравнения касательной

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$, используется формула: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче функция $f(x) = e^{2x}$, а точка касания — $(0; 1)$. Убедимся, что точка принадлежит графику: при $x=0$, $y = e^{2 \cdot 0} = e^0 = 1$.

Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$, чтобы найти угловой коэффициент касательной: $f'(0) = 2e^{2 \cdot 0} = 2e^0 = 2 \cdot 1 = 2$

Теперь подставим найденные значения в формулу уравнения касательной: $y - 1 = 2(x - 0)$ $y = 2x + 1$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $y = e^{2x}$ в точке $(0; 1)$ есть $y = 2x + 1$.

2. Определение площади фигуры

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена тремя линиями:

• графиком функции $y_1 = e^{2x}$
• касательной $y_2 = 2x + 1$
• вертикальной прямой $x = 1$

Площадь $S$ фигуры, заключенной между двумя кривыми $y_{верх}(x)$ и $y_{нижн}(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} (y_{верх}(x) - y_{нижн}(x)) dx$

Для определения, какая из функций, $y_1 = e^{2x}$ или $y_2 = 2x + 1$, является верхней на отрезке $[0, 1]$, сравним их значения. Функция $f(x)=e^{2x}$ является выпуклой вниз (так как ее вторая производная $f''(x) = 4e^{2x} > 0$ для всех $x$), поэтому ее график лежит выше любой своей касательной, кроме точки касания. Следовательно, на интервале $(0, 1]$ выполняется неравенство $e^{2x} > 2x + 1$.

Таким образом, $y_{верх}(x) = e^{2x}$ и $y_{нижн}(x) = 2x + 1$.

Искомая площадь вычисляется как интеграл: $S = \int_{0}^{1} (e^{2x} - (2x + 1)) dx = \int_{0}^{1} (e^{2x} - 2x - 1) dx$

3. Вычисление интеграла

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $S = \int_{0}^{1} (e^{2x} - 2x - 1) dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{2x^2}{2} - x \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} - x^2 - x \right]_{0}^{1}$

$S = \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - 1^2 - 1 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} - 0^2 - 0 \right)$

$S = \left( \frac{e^2}{2} - 1 - 1 \right) - \left( \frac{e^0}{2} - 0 \right)$

$S = \left( \frac{e^2}{2} - 2 \right) - \frac{1}{2}$

$S = \frac{e^2}{2} - \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^2 - 5}{2}$

Ответ: $S = \frac{e^2 - 5}{2}$.

Для нахождения области определения функции $y = \frac{x+2}{343 - 49^x}$ необходимо установить, при каких значениях переменной $x$ данное выражение имеет смысл.

Функция представляет собой дробь, которая определена тогда и только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Поэтому мы должны исключить из области определения все значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль.

Найдем эти значения, решив уравнение:$343 - 49^x = 0$

Перенесем $49^x$ в правую часть:$49^x = 343$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию. Заметим, что $49 = 7^2$, а $343 = 7^3$.$(7^2)^x = 7^3$

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем левую часть:$7^{2x} = 7^3$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:$2x = 3$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:$x = \frac{3}{2} = 1,5$

Таким образом, при $x = 1,5$ знаменатель функции равен нулю, что недопустимо. Следовательно, область определения функции (D(y)) включает все действительные числа, за исключением $x = 1,5$.

В виде объединения интервалов область определения записывается как: $(-\infty; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом A.

Ответ: $(-\infty; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.

2. $\log_{1,2} \left[ \frac{25}{36} \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^{3,2} \right]$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Для решения данной задачи необходимо упростить выражение, находящееся под знаком логарифма, а затем использовать свойства логарифмов.

1. Упростим аргумент логарифма: $ \frac{25}{36} \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^{3,2} $.

2. Представим дробь $ \frac{25}{36} $ в виде степени. Так как $ 25 = 5^2 $ и $ 36 = 6^2 $, то:

$ \frac{25}{36} = \frac{5^2}{6^2} = \left(\frac{5}{6}\right)^2 $

3. Чтобы привести степени к одному основанию, воспользуемся свойством $ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{b}{a}\right)^{-n} $:

$ \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \left(\frac{6}{5}\right)^{-2} $

4. Теперь подставим полученное выражение обратно в аргумент логарифма:

$ \left(\frac{6}{5}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^{3,2} $

5. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $):

$ \left(\frac{6}{5}\right)^{-2 + 3,2} = \left(\frac{6}{5}\right)^{1,2} $

6. Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

$ \log_{1,2} \left( \left(\frac{6}{5}\right)^{1,2} \right) $

7. Преобразуем основание логарифма $ 1,2 $ в обыкновенную дробь:

$ 1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} $

8. Подставим это значение в наше выражение:

$ \log_{\frac{6}{5}} \left( \left(\frac{6}{5}\right)^{1,2} \right) $

9. Используем основное свойство логарифма $ \log_b(b^x) = x $. В нашем случае основание $ b = \frac{6}{5} $ и показатель степени $ x = 1,2 $.

$ \log_{\frac{6}{5}} \left( \left(\frac{6}{5}\right)^{1,2} \right) = 1,2 $

Следовательно, значение выражения равно $1,2$, что соответствует варианту B.

Ответ: 1,2.

Чтобы упростить выражение $(\frac{1}{625})^{-\log_5 a} - 49^{1 + \log_7 a}$, мы преобразуем каждый член по отдельности, используя свойства логарифмов и степеней.

Упрощение первого члена $(\frac{1}{625})^{-\log_5 a}$

1. Представим основание $\frac{1}{625}$ в виде степени числа 5. Поскольку $625 = 5^4$, то $\frac{1}{625} = 5^{-4}$.

2. Подставим это значение в выражение: $(5^{-4})^{-\log_5 a}$.

3. Применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$: $5^{(-4) \cdot (-\log_5 a)} = 5^{4\log_5 a}$.

4. Используем свойство логарифма $k \log_b x = \log_b (x^k)$: $5^{4\log_5 a} = 5^{\log_5 (a^4)}$.

5. По основному логарифмическому тождеству $b^{\log_b x} = x$, получаем: $5^{\log_5 (a^4)} = a^4$.

Упрощение второго члена $49^{1 + \log_7 a}$

1. Используем свойство произведения степеней $x^{m+n} = x^m \cdot x^n$: $49^{1 + \log_7 a} = 49^1 \cdot 49^{\log_7 a}$.

2. Представим основание 49 в виде степени числа 7: $49 = 7^2$. Тогда выражение принимает вид: $49 \cdot (7^2)^{\log_7 a}$.

3. Применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$: $49 \cdot 7^{2 \log_7 a}$.

4. Используем свойство логарифма $k \log_b x = \log_b (x^k)$: $49 \cdot 7^{\log_7 (a^2)}$.

5. По основному логарифмическому тождеству $b^{\log_b x} = x$, получаем: $49 \cdot a^2$.

Итоговое выражение

Теперь вычтем упрощенный второй член из упрощенного первого члена: $a^4 - 49a^2$.

Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: $a^4 - 49a^2$

Для нахождения области определения (анықталу облысы) логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ необходимо, чтобы аргумент логарифма $f(x)$ был строго больше нуля.

В данном случае, для функции $y = \log_{3,4}(-2x^2 + 3x - 1)$ мы должны решить неравенство:
$-2x^2 + 3x - 1 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $-2x^2 + 3x - 1 = 0$. Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:
$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни уравнения, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Мы решаем неравенство $-2x^2 + 3x - 1 > 0$. Графиком функции $f(x) = -2x^2 + 3x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ равен -2, что меньше нуля). Парабола принимает положительные значения (находится выше оси Ox) на интервале между своими корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(0,5; 1)$. Это и есть область определения функции. Сравнивая полученный результат с вариантами ответа, мы видим, что правильный вариант — C.

Ответ: C. (0,5; 1)