Номер 256, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1) Дано: $g(x) = e^{3x-6}$, $x_0 = 2$.

Решение:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$g(x_0) = g(2) = e^{3 \cdot 2 - 6} = e^{6-6} = e^0 = 1$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (e^{3x-6})' = e^{3x-6} \cdot (3x-6)' = 3e^{3x-6}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$g'(x_0) = g'(2) = 3e^{3 \cdot 2 - 6} = 3e^0 = 3$.

4. Подставим найденные значения $g(x_0) = 1$ и $g'(x_0) = 3$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 3(x - 2)$

$y = 1 + 3x - 6$

$y = 3x - 5$

Ответ: $y = 3x - 5$.

2) Дано: $f(x) = x^{-2} \cdot \ln(4x+3)$, $x_0 = -0,5$.

Решение:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -0,5$:

$f(x_0) = f(-0,5) = (-0,5)^{-2} \cdot \ln(4(-0,5)+3) = \frac{1}{(-0,5)^2} \cdot \ln(-2+3) = \frac{1}{0,25} \cdot \ln(1) = 4 \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^{-2})' \cdot \ln(4x+3) + x^{-2} \cdot (\ln(4x+3))' = -2x^{-3}\ln(4x+3) + x^{-2} \cdot \frac{4}{4x+3}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -0,5$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = -2(-0,5)^{-3}\ln(4(-0,5)+3) + (-0,5)^{-2} \cdot \frac{4}{4(-0,5)+3}$

$f'(-0,5) = -2 \cdot \frac{1}{(-0,125)} \cdot \ln(1) + \frac{1}{0,25} \cdot \frac{4}{1} = -2 \cdot (-8) \cdot 0 + 4 \cdot 4 = 16$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 16$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 16(x - (-0,5))$

$y = 16(x + 0,5)$

$y = 16x + 8$

Ответ: $y = 16x + 8$.

3) Дано: $f(x) = x^{-3} \cdot \ln(2x-3)$, $x_0 = 2$.

Решение:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = 2^{-3} \cdot \ln(2 \cdot 2 - 3) = \frac{1}{8} \cdot \ln(4-3) = \frac{1}{8} \cdot \ln(1) = \frac{1}{8} \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{-3})' \cdot \ln(2x-3) + x^{-3} \cdot (\ln(2x-3))' = -3x^{-4}\ln(2x-3) + x^{-3} \cdot \frac{2}{2x-3}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = f'(2) = -3(2)^{-4}\ln(2 \cdot 2 - 3) + 2^{-3} \cdot \frac{2}{2 \cdot 2 - 3}$

$f'(2) = -3 \cdot \frac{1}{16} \cdot \ln(1) + \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{1} = 0 + \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = \frac{1}{4}$ в уравнение касательной:

$y = 0 + \frac{1}{4}(x - 2)$

$y = \frac{1}{4}x - \frac{2}{4}$

$y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}$.

4) Дано: $f(x) = x^{-2} \cdot e^{1+2x}$, $x_0 = -0,5$.

Решение:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -0,5$:

$f(x_0) = f(-0,5) = (-0,5)^{-2} \cdot e^{1+2(-0,5)} = \frac{1}{0,25} \cdot e^{1-1} = 4 \cdot e^0 = 4$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{-2})' \cdot e^{1+2x} + x^{-2} \cdot (e^{1+2x})' = -2x^{-3}e^{1+2x} + x^{-2} \cdot 2e^{1+2x}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -0,5$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = -2(-0,5)^{-3}e^{1+2(-0,5)} + (-0,5)^{-2} \cdot 2e^{1+2(-0,5)}$

$f'(-0,5) = -2 \cdot \frac{1}{-0,125} \cdot e^0 + \frac{1}{0,25} \cdot 2e^0 = -2(-8) + 4 \cdot 2 = 16 + 8 = 24$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 4$ и $f'(x_0) = 24$ в уравнение касательной:

$y = 4 + 24(x - (-0,5))$

$y = 4 + 24(x + 0,5)$

$y = 4 + 24x + 12$

$y = 24x + 16$

Ответ: $y = 24x + 16$.