Номер 252, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для функции $y = x + \ln(-x)$ на отрезке $[-4; 0,5]$.

Заметим, что область определения функции $y = x + \ln(-x)$ задается условием $-x > 0$, то есть $x < 0$. Указанный в условии отрезок $[-4; 0,5]$ содержит значения $x \ge 0$, в которых функция не определена. Вероятно, в условии допущена опечатка. Будем считать, что имелся в виду отрезок $[-4; -0,5]$, который полностью входит в область определения функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:

1. Найти производную функции $y'$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $y' = 0$.
3. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку, и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x + \ln(-x))' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-1) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.

2. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$\frac{x-1}{x} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$.

Эта точка не принадлежит отрезку $[-4; -0,5]$. Производная не определена в точке $x=0$, которая также не принадлежит отрезку.

3. Так как на отрезке $[-4; -0,5]$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -4$ и $x = -0,5$.

При $x = -4$:

$y(-4) = -4 + \ln(-(-4)) = -4 + \ln(4) = -4 + \ln(2^2) = -4 + 2\ln(2)$.

Используя данное приближение $\ln2 \approx 0,7$:

$y(-4) \approx -4 + 2 \cdot 0,7 = -4 + 1,4 = -2,6$.

При $x = -0,5$:

$y(-0,5) = -0,5 + \ln(-(-0,5)) = -0,5 + \ln(0,5) = -0,5 + \ln(2^{-1}) = -0,5 - \ln(2)$.

Используя данное приближение $\ln2 \approx 0,7$:

$y(-0,5) \approx -0,5 - 0,7 = -1,2$.

4. Сравним полученные значения: $y(-4) \approx -2,6$ и $y(-0,5) \approx -1,2$.

Наименьшее значение функции на отрезке: $y_{min} = -4 + \ln(4) \approx -2,6$.

Наибольшее значение функции на отрезке: $y_{max} = -0,5 - \ln(2) \approx -1,2$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -4 + \ln(4)$, наибольшее значение $y_{max} = -0,5 - \ln(2)$.

2) Для функции $y = x + e^{-x}$ на отрезке $[-\ln4; \ln2]$.

1. Область определения функции — все действительные числа. Найдем производную:

$y' = (x + e^{-x})' = 1 + e^{-x} \cdot (-1) = 1 - e^{-x}$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$1 - e^{-x} = 0 \implies e^{-x} = 1 \implies -x = \ln(1) \implies -x = 0 \implies x = 0$.

Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-\ln4; \ln2]$, так как $\ln4 > 0 \implies -\ln4 < 0$ и $\ln2 > 0$.

3. Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x = -\ln4$ и $x = \ln2$.

При $x = -\ln4$:

$y(-\ln4) = -\ln4 + e^{-(-\ln4)} = -\ln4 + e^{\ln4} = 4 - \ln4 = 4 - 2\ln2$.

Используя $\ln2 \approx 0,7$:

$y(-\ln4) \approx 4 - 2 \cdot 0,7 = 4 - 1,4 = 2,6$.

При $x = 0$:

$y(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1$.

При $x = \ln2$:

$y(\ln2) = \ln2 + e^{-\ln2} = \ln2 + e^{\ln(2^{-1})} = \ln2 + 2^{-1} = \ln2 + 0,5$.

Используя $\ln2 \approx 0,7$:

$y(\ln2) \approx 0,7 + 0,5 = 1,2$.

4. Сравним полученные значения: $y(-\ln4) \approx 2,6$; $y(0) = 1$; $y(\ln2) \approx 1,2$.

Наименьшее из этих значений равно $1$.

Наибольшее из этих значений равно $4 - \ln4 \approx 2,6$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = 1$, наибольшее значение $y_{max} = 4 - \ln4$.