Номер 247, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция $f(x) = \frac{5^x}{x^2 + 1}$. Требуется найти значение ее производной в точке $x_0=1$, то есть $f'(1)$.

Для нахождения производной функции, представленной в виде частного двух функций, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, $u(x) = 5^x$ и $v(x) = x^2 + 1$.

Находим их производные: $u'(x) = (5^x)' = 5^x \ln 5$ и $v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$.

Подставляем эти выражения в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{(5^x)'(x^2 + 1) - 5^x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{5^x \ln 5 \cdot (x^2 + 1) - 5^x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки в числителе для упрощения:

$f'(x) = \frac{5^x((x^2 + 1)\ln 5 - 2x)}{(x^2 + 1)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = 1$:

$f'(1) = \frac{5^1((1^2 + 1)\ln 5 - 2 \cdot 1)}{(1^2 + 1)^2} = \frac{5(2\ln 5 - 2)}{2^2} = \frac{5 \cdot 2(\ln 5 - 1)}{4} = \frac{10(\ln 5 - 1)}{4} = \frac{5(\ln 5 - 1)}{2}$

Ответ: $f'(1) = \frac{5(\ln 5 - 1)}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{\ln x}{x^3}$. Требуется найти значение ее производной в точке $x_0=e$, то есть $f'(e)$.

Снова применяем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x^3$.

Их производные равны: $u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $v'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{(\ln x)'(x^3) - (\ln x)(x^3)'}{(x^3)^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - \ln x \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{x^2 - 3x^2 \ln x}{x^6}$

Упростим выражение, вынеся $x^2$ в числителе за скобки и сократив дробь:

$f'(x) = \frac{x^2(1 - 3 \ln x)}{x^6} = \frac{1 - 3 \ln x}{x^4}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = e$. Учитывая, что натуральный логарифм числа $e$ равен 1 ($\ln e = 1$):

$f'(e) = \frac{1 - 3 \ln e}{e^4} = \frac{1 - 3 \cdot 1}{e^4} = \frac{-2}{e^4}$

Ответ: $f'(e) = -\frac{2}{e^4}$.

3) Дана функция $f(x) = e^{-x^2}$. Требуется найти значение ее производной в точке $x_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$, то есть $f'(\frac{1}{\sqrt{2}})$.

Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся цепным правилом: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Внешняя функция $g(u)=e^u$, внутренняя функция $h(x)=-x^2$.

Их производные: $g'(u)=e^u$ и $h'(x) = (-x^2)' = -2x$.

Применяя цепное правило, находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^{-x^2})' = e^{-x^2} \cdot (-x^2)' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$:

$f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}$

Сначала вычислим значение выражения в показателе степени: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение обратно в выражение для производной:

$f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}}$

Упростим коэффициент перед экспонентой: $-2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.

Таким образом, получаем окончательный результат:

$f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\sqrt{2} e^{-\frac{1}{2}}$

Ответ: $f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\sqrt{2}e^{-1/2}$.