Номер 240, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Для нахождения производной функции $f(x) = 3^{x^2-7x}$ мы используем правило дифференцирования сложной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.
В данном случае, основание $a=3$ и показатель степени (внутренняя функция) $u(x) = x^2-7x$.
Сначала найдем производную показателя степени $u'(x)$:
$u'(x) = (x^2-7x)' = (x^2)' - (7x)' = 2x - 7$.
Теперь подставим все в формулу производной сложной функции:
$f'(x) = (3^{x^2-7x})' = 3^{x^2-7x} \cdot \ln 3 \cdot (2x-7)$.
Запишем в более стандартном виде:
$f'(x) = (2x-7) \cdot 3^{x^2-7x} \ln 3$.
Ответ: $f'(x) = (2x-7) \cdot 3^{x^2-7x} \ln 3$.

2)Для нахождения производной функции $f(x) = 2^x + 3x^2$ мы используем правило дифференцирования суммы двух функций: $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.
Найдем производную каждого слагаемого отдельно.
Производная первого слагаемого $2^x$ находится по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$:
$(2^x)' = 2^x \ln 2$.
Производная второго слагаемого $3x^2$ находится по формуле степенной функции $(cx^n)' = cnx^{n-1}$:
$(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$.
Теперь сложим полученные производные:
$f'(x) = 2^x \ln 2 + 6x$.
Ответ: $f'(x) = 2^x \ln 2 + 6x$.

3)Для нахождения производной функции $f(x) = 0,81^{1-x^3}$ мы используем правило дифференцирования сложной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.
Здесь основание $a=0,81$ и показатель степени $u(x) = 1-x^3$.
Найдем производную показателя степени $u'(x)$:
$u'(x) = (1-x^3)' = (1)' - (x^3)' = 0 - 3x^2 = -3x^2$.
Подставим все компоненты в формулу:
$f'(x) = (0,81^{1-x^3})' = 0,81^{1-x^3} \cdot \ln 0,81 \cdot (-3x^2)$.
Перегруппируем множители для удобства:
$f'(x) = -3x^2 \cdot 0,81^{1-x^3} \ln 0,81$.
Ответ: $f'(x) = -3x^2 \cdot 0,81^{1-x^3} \ln 0,81$.

4)Для нахождения производной функции $f(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^{4-x}$ мы снова используем правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.
В этом случае основание $a=\frac{1}{7}$ и показатель степени $u(x) = 4-x$.
Найдем производную показателя степени $u'(x)$:
$u'(x) = (4-x)' = (4)' - (x)' = 0 - 1 = -1$.
Теперь применим формулу производной:
$f'(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^{4-x} \cdot \ln\left(\frac{1}{7}\right) \cdot (-1)$.
Упростим логарифм: $\ln\left(\frac{1}{7}\right) = \ln(7^{-1}) = -\ln 7$.
Подставим это в наше выражение:
$f'(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^{4-x} \cdot (-\ln 7) \cdot (-1) = \left(\frac{1}{7}\right)^{4-x} \ln 7$.
Альтернативно, можно сначала упростить функцию: $f(x) = (7^{-1})^{4-x} = 7^{x-4}$. Тогда $u(x) = x-4$, $u'(x) = 1$, и производная $f'(x) = 7^{x-4} \cdot \ln 7 \cdot 1 = 7^{x-4} \ln 7$. Оба ответа эквивалентны.
Ответ: $f'(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^{4-x} \ln 7$.