Страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Көрсеткіштік функцияның туындысын табу формуласын қорытып шығарғанда, неге y = aˣ функциясынан y = eˣ функциясы бөлек көрсетіледі?
Жалпы көрсеткіштік функция $y = a^x$ (мұндағы $a > 0$, $a \neq 1$) туындысының формуласын туындының анықтамасы арқылы қорытып шығарайық:$y' = (a^x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{x+\Delta x} - a^x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^x(a^{\Delta x} - 1)}{\Delta x} = a^x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$.
Бұл жерде $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$ шегі $a$ негізіне тәуелді тұрақты шама болып табылады және ол $a$ санының натурал логарифміне тең: $\ln a$.
Сонымен, көрсеткіштік функция туындысының жалпы формуласы: $(a^x)' = a^x \ln a$.
$y = e^x$ функциясы – бұл $y = a^x$ функциясының $a = e$ болғандағы дербес жағдайы. $e$ саны – иррационал сан, шамамен $2.718$ тең және оның ерекше қасиеті $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = \ln e = 1$ теңдігінде жатыр.
Осы қасиеттің арқасында $y=e^x$ функциясының туындысы өте қарапайым және әдемі түрге келеді:
$(e^x)' = e^x \ln e = e^x \cdot 1 = e^x$.
Яғни, $e^x$ функциясының туындысы өзіне-өзі тең. Бұл математикада, физикада және басқа ғылымдарда өте маңызды және ыңғайлы қасиет. Сондықтан, туындысының қарапайымдылығы мен фундаменталды маңыздылығына байланысты $y = e^x$ функциясы $y = a^x$ жалпы жағдайынан бөлек қарастырылады.
Ответ: $y = e^x$ функциясы $y = a^x$ функциясының дербес жағдайы болып табылады, бірақ оның туындысы өзіне-өзі тең ($(e^x)' = e^x$) болғандықтан, бұл бірегей қасиетіне байланысты ол жеке қарастырылады.

2. Логарифмдік функция туындысының формуласын қорытып шығару үшін қандай түрлендіруге сүйенеміз?
Логарифмдік функцияның $y = \log_a x$ туындысын табу үшін біз оның $x = a^y$ көрсеткіштік функциясына кері функция екендігіне сүйенеміз. Туындыны шығарудың екі негізгі тәсілі бар:
1. Кері функцияның туындысын табу ережесін қолдану. $y(x) = \log_a x$ функциясына кері функция $x(y) = a^y$ болады. Біз $x(y)$ функциясының $y$ бойынша туындысын білеміз: $\frac{dx}{dy} = (a^y)' = a^y \ln a$. Кері функцияның туындысының ережесі бойынша: $y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$. Осыған $a^y \ln a$ мәнін қоямыз: $y'(x) = \frac{1}{a^y \ln a}$. Соңында, $a^y = x$ екенін ескеріп, орнына қоямыз: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.
2. Айқындалмаған функцияны дифференциалдау. $y = \log_a x$ теңдеуін оған эквивалентті $a^y = x$ түрінде жазамыз. Бұл теңдеудің екі жағын да $x$ бойынша дифференциалдаймыз: $\frac{d}{dx}(a^y) = \frac{d}{dx}(x)$. Сол жағына күрделі функцияның туындысының ережесін (тізбек ережесін) қолданамыз: $a^y \ln a \cdot \frac{dy}{dx} = 1$. Осы жерден $\frac{dy}{dx}$ туындысын табамыз: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{a^y \ln a}$. $a^y = x$ алмастыруын жасап, соңғы нәтижені аламыз: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln a}$.
Екі жағдайда да негізгі түрлендіру – логарифмдік функцияны көрсеткіштік функция арқылы өрнектеу.
Ответ: Логарифмдік функция туындысының формуласын қорыту үшін оның көрсеткіштік функцияға кері функция екендігіне және кері функцияның туындысын табу ережесіне (немесе айқындалмаған функцияны дифференциалдау әдісіне) сүйенеміз.

3. y = eˣ және y = ln x функциялары туындыларының арасында қандай қатынас бар?
$y = e^x$ және $y = \ln x$ функциялары бірі-біріне кері функциялар болып табылады. Олардың туындыларының арасындағы қатынасты қарастырайық.
Алдымен, олардың туындыларын табайық:
- $(e^x)' = e^x$
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
Бұл туындылардың арасындағы байланыс кері функциялардың туындыларының жалпы қасиетінен туындайды. Егер $f(x)$ және $g(x) = f^{-1}(x)$ функциялары бірі-біріне кері болса, онда олардың туындылары $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$ қатынасымен байланысты.
Біздің жағдайда, $f(x) = e^x$ және $g(x) = \ln x$. Онда $f'(x) = e^x$. Бұл туындыға $g(x) = \ln x$ функциясын қойсақ: $f'(g(x)) = f'(\ln x) = e^{\ln x} = x$.
Кері функцияның туындысының формуласына сәйкес, $g'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{f'(g(x))} = \frac{1}{x}$. Бұл біз білетін $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ формуласымен сәйкес келеді.
Геометриялық тұрғыдан бұл былай түсіндіріледі: егер $(a, b)$ нүктесі $y=e^x$ графигінде жатса (яғни, $b=e^a$), онда осы нүктедегі жанаманың көлбеулік коэффициенті $k_1 = (e^x)'|_{x=a} = e^a = b$. Сәйкесінше, $(b, a)$ нүктесі $y=\ln x$ графигінде жатады және бұл нүктедегі жанаманың көлбеулік коэффициенті $k_2 = (\ln x)'|_{x=b} = \frac{1}{b}$. Көріп отырғанымыздай, сәйкес нүктелердегі жанамалардың көлбеулік коэффициенттері бірі-біріне кері шамалар болады ($k_2 = \frac{1}{k_1}$).
Ответ: $y=e^x$ және $y=\ln x$ функциялары бірі-біріне кері болғандықтан, олардың туындылары да өзара байланысты. Бір функцияның туындысы ($e^x$) екінші функцияның туындысының ($1/x$) аргументіне қойылған мәнінің кері шамасына тең, яғни $(\ln x)' = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}$. Геометриялық тұрғыдан, сәйкес нүктелердегі жанамаларының көлбеулік коэффициенттері өзара кері сандар болады.

1)Для нахождения производной функции $f(x) = 3^{x^2-7x}$ мы используем правило дифференцирования сложной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.
В данном случае, основание $a=3$ и показатель степени (внутренняя функция) $u(x) = x^2-7x$.
Сначала найдем производную показателя степени $u'(x)$:
$u'(x) = (x^2-7x)' = (x^2)' - (7x)' = 2x - 7$.
Теперь подставим все в формулу производной сложной функции:
$f'(x) = (3^{x^2-7x})' = 3^{x^2-7x} \cdot \ln 3 \cdot (2x-7)$.
Запишем в более стандартном виде:
$f'(x) = (2x-7) \cdot 3^{x^2-7x} \ln 3$.
Ответ: $f'(x) = (2x-7) \cdot 3^{x^2-7x} \ln 3$.

2)Для нахождения производной функции $f(x) = 2^x + 3x^2$ мы используем правило дифференцирования суммы двух функций: $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.
Найдем производную каждого слагаемого отдельно.
Производная первого слагаемого $2^x$ находится по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$:
$(2^x)' = 2^x \ln 2$.
Производная второго слагаемого $3x^2$ находится по формуле степенной функции $(cx^n)' = cnx^{n-1}$:
$(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$.
Теперь сложим полученные производные:
$f'(x) = 2^x \ln 2 + 6x$.
Ответ: $f'(x) = 2^x \ln 2 + 6x$.

3)Для нахождения производной функции $f(x) = 0,81^{1-x^3}$ мы используем правило дифференцирования сложной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.
Здесь основание $a=0,81$ и показатель степени $u(x) = 1-x^3$.
Найдем производную показателя степени $u'(x)$:
$u'(x) = (1-x^3)' = (1)' - (x^3)' = 0 - 3x^2 = -3x^2$.
Подставим все компоненты в формулу:
$f'(x) = (0,81^{1-x^3})' = 0,81^{1-x^3} \cdot \ln 0,81 \cdot (-3x^2)$.
Перегруппируем множители для удобства:
$f'(x) = -3x^2 \cdot 0,81^{1-x^3} \ln 0,81$.
Ответ: $f'(x) = -3x^2 \cdot 0,81^{1-x^3} \ln 0,81$.

4)Для нахождения производной функции $f(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^{4-x}$ мы снова используем правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.
В этом случае основание $a=\frac{1}{7}$ и показатель степени $u(x) = 4-x$.
Найдем производную показателя степени $u'(x)$:
$u'(x) = (4-x)' = (4)' - (x)' = 0 - 1 = -1$.
Теперь применим формулу производной:
$f'(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^{4-x} \cdot \ln\left(\frac{1}{7}\right) \cdot (-1)$.
Упростим логарифм: $\ln\left(\frac{1}{7}\right) = \ln(7^{-1}) = -\ln 7$.
Подставим это в наше выражение:
$f'(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^{4-x} \cdot (-\ln 7) \cdot (-1) = \left(\frac{1}{7}\right)^{4-x} \ln 7$.
Альтернативно, можно сначала упростить функцию: $f(x) = (7^{-1})^{4-x} = 7^{x-4}$. Тогда $u(x) = x-4$, $u'(x) = 1$, и производная $f'(x) = 7^{x-4} \cdot \ln 7 \cdot 1 = 7^{x-4} \ln 7$. Оба ответа эквивалентны.
Ответ: $f'(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^{4-x} \ln 7$.