Страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Логарифмдік функция мен көрсеткіштік функцияның қасиеттерінде қандай ұқсастық пен айырмашылық бар?

Логарифмическая функция ($y = \log_a x$) и показательная (экспоненциальная) функция ($y = a^x$) тесно связаны, так как являются взаимно обратными. У них есть как сходства, так и существенные различия в свойствах.

Сходства:

• Монотонность: Обе функции являются строго монотонными на всей своей области определения. Если основание $a > 1$, обе функции возрастают. Если $0 < a < 1$, обе функции убывают.

• Непрерывность: Обе функции непрерывны на своей области определения.

• Ограничения на основание: Для обеих функций основание $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \neq 1$).

Различия:

• Область определения: Для показательной функции $y = a^x$ область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, а для логарифмической $y = \log_a x$ — только положительные действительные числа, $D(y) = (0; +\infty)$.

• Область значений: Для показательной функции $y = a^x$ область значений — только положительные действительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$, а для логарифмической $y = \log_a x$ — все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

• Асимптоты: График показательной функции имеет горизонтальную асимптоту $y = 0$ (ось Ox), в то время как график логарифмической функции имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось Oy).

• Характерные точки: График любой показательной функции $y = a^x$ проходит через точку $(0; 1)$, так как $a^0 = 1$. График любой логарифмической функции $y = \log_a x$ проходит через точку $(1; 0)$, так как $\log_a 1 = 0$.

Ответ: Основное сходство — в монотонности и требованиях к основанию $a$. Основные различия — в областях определения и значений (они "меняются местами"), наличии разных асимптот (горизонтальная у показательной, вертикальная у логарифмической) и характерных точках пересечения с осями координат.

2. Көрсеткіштік функцияның ($y = a^x$) графигінен қандай қозғалысты (геометриялық түрлендіруді) қолданып логарифмдік функцияның ($y = \log_a x$) графигін алуға болады?

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является обратной к показательной функции $y = a^x$. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Следовательно, чтобы из графика показательной функции $y = a^x$ получить график логарифмической функции $y = \log_a x$, необходимо выполнить геометрическое преобразование — симметричное отражение относительно прямой $y=x$.

Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = a^x$ переходит в точку $(y_0, x_0)$ на графике функции $y = \log_a x$. Например, точка $(0, 1)$ на графике $y=a^x$ переходит в точку $(1, 0)$ на графике $y=\log_a x$.

Ответ: Чтобы получить график логарифмической функции $y = \log_a x$ из графика показательной функции $y = a^x$, нужно отразить график показательной функции симметрично относительно прямой $y=x$.

3. Барлық логарифмдік функциялардың графиктері қандай нүкте арқылы өтеді? Жауабын түсіндіріндер.

Графики всех логарифмических функций вида $y = \log_a x$ (при любом допустимом основании $a > 0, a \neq 1$) проходят через одну и ту же точку — (1; 0).

Объяснение:

По определению логарифма, выражение $y = \log_a x$ эквивалентно выражению $a^y = x$.

Подставим в это равенство координаты точки $(1; 0)$, то есть $x=1$ и $y=0$:

$a^0 = 1$

Это равенство является верным для любого числа $a$, кроме нуля. Поскольку для основания логарифма $a$ действует ограничение $a > 0$ и $a \neq 1$, это равенство всегда истинно. Таким образом, при $x=1$ значение функции $y = \log_a x$ всегда равно 0, независимо от основания $a$.

Ответ: Все графики логарифмических функций проходят через точку $(1; 0)$, так как логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю ($\log_a 1 = 0$).

Для построения графиков логарифмических функций вида $y = \log_a x$ необходимо проанализировать их ключевые свойства, которые зависят от основания логарифа $a$.

• Область определения: $x > 0$. Все графики будут расположены справа от оси $Oy$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Общая точка: Все графики проходят через точку $(1, 0)$, так как $\log_a 1 = 0$ для любого $a > 0, a \neq 1$.
• Асимптота: Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой для всех графиков.
• Монотонность:
  • Если основание $a > 1$, функция возрастает.
  • Если $0 < a < 1$, функция убывает.

1) $f(x) = \log_5 x$

Анализируем функцию:

• Основание $a = 5$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
• График проходит через точку $(1, 0)$.
• Найдем еще одну точку для точности: при $x=5$, $y = \log_5 5 = 1$. Таким образом, график проходит через точку $(5, 1)$.
• При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_5 x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(5, 1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{7}} x$

Анализируем функцию:

• Основание $a = \frac{1}{7}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
• График проходит через точку $(1, 0)$.
• Найдем еще одну точку для точности: при $x=7$, $y = \log_{1/7} 7 = -1$. Таким образом, график проходит через точку $(7, -1)$. При $x=1/7$, $y = \log_{1/7} (1/7) = 1$.
• При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_{\frac{1}{7}} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$, $(1/7, 1)$ и $(7, -1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

3) $f(x) = \log_{12.4} x$

Анализируем функцию:

• Основание $a = 12.4$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
• Поскольку основание $12.4 > 5$, график этой функции будет "более пологим" (возрастать медленнее), чем график $y=\log_5 x$ при $x>1$.
• График проходит через точку $(1, 0)$.
• Найдем еще одну точку: при $x=12.4$, $y = \log_{12.4} 12.4 = 1$.
• При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_{12.4} x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(12.4, 1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

4) $f(x) = \log_{0.9} x$

Анализируем функцию:

• Основание $a = 0.9$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
• Поскольку основание $0.9$ близко к 1 (и $0.9 > 1/7$), график этой функции будет убывать медленнее, чем график $y=\log_{1/7} x$.
• График проходит через точку $(1, 0)$.
• Найдем еще одну точку: при $x=0.9$, $y = \log_{0.9} 0.9 = 1$.
• При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_{0.9} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(0.9, 1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

Логарифмдік функция $y = \log_a x$ (мұндағы $a > 0, a \ne 1$) өзінің бүкіл анықталу облысында ($x > 0$) монотонды болады. Функцияның монотондылық сипаты $a$ негізінің мәніне байланысты:
- Егер негіз $a > 1$ болса, функция өспелі болады.
- Егер негіз $0 < a < 1$ болса, функция кемімелі болады.

1) $f(x) = \log_8 x$ функциясы.
Бұл функцияның негізі $a = 8$.
$a = 8 > 1$ болғандықтан, бұл функция өспелі болады.
Ответ: өспелі.

2) $f(x) = \log_{0,1} x$ функциясы.
Бұл функцияның негізі $a = 0,1$.
$0 < a < 1$ шарты орындалады, себебі $0 < 0,1 < 1$. Сондықтан, бұл функция кемімелі болады.
Ответ: кемімелі.

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ функциясы.
Бұл функцияның негізі $a = \frac{1}{2} = 0,5$.
$0 < a < 1$ шарты орындалады, себебі $0 < 0,5 < 1$. Сондықтан, бұл функция кемімелі болады.
Ответ: кемімелі.

4) $f(x) = \lg x$ функциясы.
$\lg x$ белгісі ондық логарифмді білдіреді, яғни оның негізі $10$. Демек, $f(x) = \log_{10} x$.
Бұл функцияның негізі $a = 10$.
$a = 10 > 1$ болғандықтан, бұл функция өспелі болады.
Ответ: өспелі.

В задаче указана функция $y=\log_2 x$, но условия даны для общего основания $a$. Это распространенная опечатка в учебных материалах. Будем решать задачу для общей логарифмической функции $y=\log_a x$, где $a$ — основание логарифма.

Для определения знака функции $y = \log_a x$ необходимо сравнить ее значение с нулем. Мы знаем, что для любого допустимого основания $a$ ($a>0, a\neq1$) выполняется равенство $\log_a 1 = 0$. Таким образом, задача сводится к решению неравенств $\log_a x > 0$ и $\log_a x < 0$. Решение этих неравенств зависит от значения основания $a$.

1) $0 < a < 1$

В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2$ из области определения выполняется неравенство $\log_a x_1 < \log_a x_2$.

Когда функция положительна ($y > 0$)?

Нам нужно решить неравенство $\log_a x > 0$.
Заменим 0 на $\log_a 1$:
$\log_a x > \log_a 1$
Поскольку функция убывающая (так как $0 < a < 1$), при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 1$
При этом необходимо учитывать область определения логарифма: $x > 0$.
Объединяя два условия, получаем: $0 < x < 1$.

Когда функция отрицательна ($y < 0$)?

Нам нужно решить неравенство $\log_a x < 0$.
$\log_a x < \log_a 1$
Так как функция убывающая, знак неравенства снова меняется:
$x > 1$

Ответ: При $0 < a < 1$ функция $y=\log_a x$ положительна при $x \in (0; 1)$ и отрицательна при $x \in (1; +\infty)$.

2) $a > 1$

В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2$ из области определения выполняется неравенство $\log_a x_1 > \log_a x_2$.

Когда функция положительна ($y > 0$)?

Решаем неравенство $\log_a x > 0$.
$\log_a x > \log_a 1$
Поскольку функция возрастающая (так как $a > 1$), при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$x > 1$

Когда функция отрицательна ($y < 0$)?

Решаем неравенство $\log_a x < 0$.
$\log_a x < \log_a 1$
Так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x < 1$
Учитывая область определения $x > 0$, получаем: $0 < x < 1$.

Ответ: При $a > 1$ функция $y=\log_a x$ положительна при $x \in (1; +\infty)$ и отрицательна при $x \in (0; 1)$.

Бұл теңсіздіктер логарифмдік функцияның монотондылық қасиетіне негізделген. Логарифмдік функцияның $y = \log_a x$ өсуі немесе кемуі оның негізі $a$-ға байланысты.

1) $lg7 > lg5$ теңсіздігін қарастырайық. Мұнда ондық логарифм қолданылады, оның негізі $a = 10$.
Логарифмдік функцияның қасиеті бойынша, егер негіз $a > 1$ болса, онда функция өспелі болады. Яғни, аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні сәйкес келеді.
Біздің жағдайда негіз $a = 10 > 1$, сондықтан $y = \lg x$ функциясы өспелі болып табылады.
$7 > 5$ болғандықтан, өспелі функцияның қасиетіне сәйкес, $\lg 7 > \lg 5$ теңсіздігі орындалады.
Ответ: Негізі 1-ден үлкен ($a > 1$) логарифмдік функция өспелі болады.

2) $\log_{\frac{1}{3}} 7 < \log_{\frac{1}{3}} 5$ теңсіздігін қарастырайық. Мұнда логарифмнің негізі $a = \frac{1}{3}$.
Логарифмдік функцияның қасиеті бойынша, егер негіз $0 < a < 1$ аралығында болса, онда функция кемімелі болады. Яғни, аргументтің үлкен мәніне функцияның кіші мәні сәйкес келеді.
Біздің жағдайда негіз $a = \frac{1}{3}$ және $0 < \frac{1}{3} < 1$, сондықтан $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ функциясы кемімелі болып табылады.
$7 > 5$ болғандықтан, кемімелі функцияның қасиетіне сәйкес, $\log_{\frac{1}{3}} 7 < \log_{\frac{1}{3}} 5$ теңсіздігі орындалады.
Ответ: Негізі 0 мен 1-дің арасында ($0 < a < 1$) орналасқан логарифмдік функция кемімелі болады.