Номер 225, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для построения графиков логарифмических функций вида $y = \log_a x$ необходимо проанализировать их ключевые свойства, которые зависят от основания логарифа $a$.

• Область определения: $x > 0$. Все графики будут расположены справа от оси $Oy$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Общая точка: Все графики проходят через точку $(1, 0)$, так как $\log_a 1 = 0$ для любого $a > 0, a \neq 1$.
• Асимптота: Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой для всех графиков.
• Монотонность:
  • Если основание $a > 1$, функция возрастает.
  • Если $0 < a < 1$, функция убывает.

1) $f(x) = \log_5 x$

Анализируем функцию:

• Основание $a = 5$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
• График проходит через точку $(1, 0)$.
• Найдем еще одну точку для точности: при $x=5$, $y = \log_5 5 = 1$. Таким образом, график проходит через точку $(5, 1)$.
• При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_5 x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(5, 1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{7}} x$

Анализируем функцию:

• Основание $a = \frac{1}{7}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
• График проходит через точку $(1, 0)$.
• Найдем еще одну точку для точности: при $x=7$, $y = \log_{1/7} 7 = -1$. Таким образом, график проходит через точку $(7, -1)$. При $x=1/7$, $y = \log_{1/7} (1/7) = 1$.
• При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_{\frac{1}{7}} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$, $(1/7, 1)$ и $(7, -1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

3) $f(x) = \log_{12.4} x$

Анализируем функцию:

• Основание $a = 12.4$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
• Поскольку основание $12.4 > 5$, график этой функции будет "более пологим" (возрастать медленнее), чем график $y=\log_5 x$ при $x>1$.
• График проходит через точку $(1, 0)$.
• Найдем еще одну точку: при $x=12.4$, $y = \log_{12.4} 12.4 = 1$.
• При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_{12.4} x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(12.4, 1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

4) $f(x) = \log_{0.9} x$

Анализируем функцию:

• Основание $a = 0.9$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
• Поскольку основание $0.9$ близко к 1 (и $0.9 > 1/7$), график этой функции будет убывать медленнее, чем график $y=\log_{1/7} x$.
• График проходит через точку $(1, 0)$.
• Найдем еще одну точку: при $x=0.9$, $y = \log_{0.9} 0.9 = 1$.
• При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_{0.9} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(0.9, 1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.