Вопросы, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Логарифмдік функция мен көрсеткіштік функцияның қасиеттерінде қандай ұқсастық пен айырмашылық бар?

2. Көрсеткіштік функцияның ($y = a^x$) графигінен қандай қозғалысты (геометриялық түрлендіруді) қолданып логарифмдік функцияның ($y = \log_a x$) графигін алуға болады?

3. Барлық логарифмдік функциялардың графиктерi қандай нүкте арқылы өтеді? Жауабын түсіндіріңдер.

1. Логарифмдік функция мен көрсеткіштік функцияның қасиеттерінде қандай ұқсастық пен айырмашылық бар?

Логарифмическая функция ($y = \log_a x$) и показательная (экспоненциальная) функция ($y = a^x$) тесно связаны, так как являются взаимно обратными. У них есть как сходства, так и существенные различия в свойствах.

Сходства:

• Монотонность: Обе функции являются строго монотонными на всей своей области определения. Если основание $a > 1$, обе функции возрастают. Если $0 < a < 1$, обе функции убывают.

• Непрерывность: Обе функции непрерывны на своей области определения.

• Ограничения на основание: Для обеих функций основание $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \neq 1$).

Различия:

• Область определения: Для показательной функции $y = a^x$ область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, а для логарифмической $y = \log_a x$ — только положительные действительные числа, $D(y) = (0; +\infty)$.

• Область значений: Для показательной функции $y = a^x$ область значений — только положительные действительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$, а для логарифмической $y = \log_a x$ — все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

• Асимптоты: График показательной функции имеет горизонтальную асимптоту $y = 0$ (ось Ox), в то время как график логарифмической функции имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось Oy).

• Характерные точки: График любой показательной функции $y = a^x$ проходит через точку $(0; 1)$, так как $a^0 = 1$. График любой логарифмической функции $y = \log_a x$ проходит через точку $(1; 0)$, так как $\log_a 1 = 0$.

Ответ: Основное сходство — в монотонности и требованиях к основанию $a$. Основные различия — в областях определения и значений (они "меняются местами"), наличии разных асимптот (горизонтальная у показательной, вертикальная у логарифмической) и характерных точках пересечения с осями координат.

2. Көрсеткіштік функцияның ($y = a^x$) графигінен қандай қозғалысты (геометриялық түрлендіруді) қолданып логарифмдік функцияның ($y = \log_a x$) графигін алуға болады?

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является обратной к показательной функции $y = a^x$. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Следовательно, чтобы из графика показательной функции $y = a^x$ получить график логарифмической функции $y = \log_a x$, необходимо выполнить геометрическое преобразование — симметричное отражение относительно прямой $y=x$.

Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = a^x$ переходит в точку $(y_0, x_0)$ на графике функции $y = \log_a x$. Например, точка $(0, 1)$ на графике $y=a^x$ переходит в точку $(1, 0)$ на графике $y=\log_a x$.

Ответ: Чтобы получить график логарифмической функции $y = \log_a x$ из графика показательной функции $y = a^x$, нужно отразить график показательной функции симметрично относительно прямой $y=x$.

3. Барлық логарифмдік функциялардың графиктері қандай нүкте арқылы өтеді? Жауабын түсіндіріндер.

Графики всех логарифмических функций вида $y = \log_a x$ (при любом допустимом основании $a > 0, a \neq 1$) проходят через одну и ту же точку — (1; 0).

Объяснение:

По определению логарифма, выражение $y = \log_a x$ эквивалентно выражению $a^y = x$.

Подставим в это равенство координаты точки $(1; 0)$, то есть $x=1$ и $y=0$:

$a^0 = 1$

Это равенство является верным для любого числа $a$, кроме нуля. Поскольку для основания логарифма $a$ действует ограничение $a > 0$ и $a \neq 1$, это равенство всегда истинно. Таким образом, при $x=1$ значение функции $y = \log_a x$ всегда равно 0, независимо от основания $a$.

Ответ: Все графики логарифмических функций проходят через точку $(1; 0)$, так как логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю ($\log_a 1 = 0$).