Номер 227, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

В задаче указана функция $y=\log_2 x$, но условия даны для общего основания $a$. Это распространенная опечатка в учебных материалах. Будем решать задачу для общей логарифмической функции $y=\log_a x$, где $a$ — основание логарифма.

Для определения знака функции $y = \log_a x$ необходимо сравнить ее значение с нулем. Мы знаем, что для любого допустимого основания $a$ ($a>0, a\neq1$) выполняется равенство $\log_a 1 = 0$. Таким образом, задача сводится к решению неравенств $\log_a x > 0$ и $\log_a x < 0$. Решение этих неравенств зависит от значения основания $a$.

1) $0 < a < 1$

В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2$ из области определения выполняется неравенство $\log_a x_1 < \log_a x_2$.

Когда функция положительна ($y > 0$)?

Нам нужно решить неравенство $\log_a x > 0$.
Заменим 0 на $\log_a 1$:
$\log_a x > \log_a 1$
Поскольку функция убывающая (так как $0 < a < 1$), при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 1$
При этом необходимо учитывать область определения логарифма: $x > 0$.
Объединяя два условия, получаем: $0 < x < 1$.

Когда функция отрицательна ($y < 0$)?

Нам нужно решить неравенство $\log_a x < 0$.
$\log_a x < \log_a 1$
Так как функция убывающая, знак неравенства снова меняется:
$x > 1$

Ответ: При $0 < a < 1$ функция $y=\log_a x$ положительна при $x \in (0; 1)$ и отрицательна при $x \in (1; +\infty)$.

2) $a > 1$

В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2$ из области определения выполняется неравенство $\log_a x_1 > \log_a x_2$.

Когда функция положительна ($y > 0$)?

Решаем неравенство $\log_a x > 0$.
$\log_a x > \log_a 1$
Поскольку функция возрастающая (так как $a > 1$), при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$x > 1$

Когда функция отрицательна ($y < 0$)?

Решаем неравенство $\log_a x < 0$.
$\log_a x < \log_a 1$
Так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x < 1$
Учитывая область определения $x > 0$, получаем: $0 < x < 1$.

Ответ: При $a > 1$ функция $y=\log_a x$ положительна при $x \in (1; +\infty)$ и отрицательна при $x \in (0; 1)$.