Номер 233, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) f(x) = 4^x;

Чтобы найти функцию, обратную к $y = f(x)$, необходимо поменять местами переменные $x$ и $y$ в уравнении $y = f(x)$ и затем выразить $y$ через $x$. График обратной функции $y=f^{-1}(x)$ симметричен графику исходной функции $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$.
Исходная функция: $y = 4^x$.
Меняем местами $x$ и $y$: $x = 4^y$.
Чтобы выразить $y$, логарифмируем обе части уравнения по основанию 4:
$\log_4(x) = \log_4(4^y)$
$y = \log_4(x)$
Таким образом, обратная функция: $g(x) = \log_4(x)$.
Построим на одной координатной плоскости графики исходной функции $y=4^x$ (синий), обратной функции $y=\log_4(x)$ (красный) и прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: Обратная функция $y = \log_4(x)$.

2) f(x) = 0,2^x;

Исходная функция: $y = 0,2^x$. Можно записать как $y = (\frac{1}{5})^x$.
Меняем местами $x$ и $y$: $x = 0,2^y$.
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 0,2:
$\log_{0,2}(x) = \log_{0,2}(0,2^y)$
$y = \log_{0,2}(x)$
Таким образом, обратная функция: $g(x) = \log_{0,2}(x)$.
Построим на одной координатной плоскости графики исходной функции $y=0,2^x$ (синий), обратной функции $y=\log_{0,2}(x)$ (красный) и прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: Обратная функция $y = \log_{0,2}(x)$.

3) f(x) = 2^x+1;

Исходная функция: $y = 2^{x+1}$.
Меняем местами $x$ и $y$: $x = 2^{y+1}$.
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$\log_2(x) = \log_2(2^{y+1})$
$\log_2(x) = y+1$
$y = \log_2(x) - 1$
Таким образом, обратная функция: $g(x) = \log_2(x) - 1$.
График функции $y=2^{x+1}$ получается сдвигом графика $y=2^x$ на 1 единицу влево. График функции $y=\log_2(x) - 1$ получается сдвигом графика $y=\log_2(x)$ на 1 единицу вниз.

Ответ: Обратная функция $y = \log_2(x) - 1$.

4) f(x) = 3^x - 2;

Исходная функция: $y = 3^x - 2$.
Меняем местами $x$ и $y$: $x = 3^y - 2$.
Выражаем показательный член: $x+2 = 3^y$.
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
$\log_3(x+2) = \log_3(3^y)$
$y = \log_3(x+2)$
Таким образом, обратная функция: $g(x) = \log_3(x+2)$.
График функции $y=3^x - 2$ получается сдвигом графика $y=3^x$ на 2 единицы вниз (горизонтальная асимптота $y=-2$). График функции $y=\log_3(x+2)$ получается сдвигом графика $y=\log_3(x)$ на 2 единицы влево (вертикальная асимптота $x=-2$).

Ответ: Обратная функция $y = \log_3(x+2)$.