Номер 231, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Область определения функции $f(x) = \lg(3x - 1) + \lg(x^2 + x + 1)$ находится из условия, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ x^2 + x + 1 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $3x - 1 > 0$, откуда получаем $3x > 1$, то есть $x > \frac{1}{3}$.

Решим второе неравенство: $x^2 + x + 1 > 0$. Для анализа этого квадратного трехчлена найдем его дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), а коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 1 > 0$), квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$ положителен при всех действительных значениях $x$.

Пересечением решений $x > \frac{1}{3}$ и $x \in (-\infty, +\infty)$ является интервал $(\frac{1}{3}, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (\frac{1}{3}, +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \lg(x - 5) + \lg(x^2 + x + 2)$ определяется системой неравенств:

$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ x^2 + x + 2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства $x - 5 > 0$ следует, что $x > 5$.

Рассмотрим второе неравенство $x^2 + x + 2 > 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7$. Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, выражение $x^2 + x + 2$ положительно для всех $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, область определения функции задается только первым неравенством $x > 5$.

Ответ: $D(f) = (5, +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \log_3(x - 1) + \log_2(x + 5)$ аргументы обоих логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Решая эти неравенства, получаем:

$\begin{cases} x > 1 \\ x > -5 \end{cases}$

Чтобы оба неравенства выполнялись одновременно, необходимо, чтобы $x$ был больше большего из чисел, то есть $x > 1$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.

4) Область определения функции $f(x) = \log_7(3 - x) - \log_{0.3}(x + 2)$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} 3 - x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} x < 3 \\ x > -2 \end{cases}$

Объединяя эти два условия, получаем интервал $-2 < x < 3$.

Ответ: $D(f) = (-2, 3)$.