Страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(g(x))$ определяется условием, что выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго положительным. Для функции $f(x) = \log_2(x + 1)$ это условие записывается в виде неравенства:

$x + 1 > 0$

Решим это линейное неравенство относительно $x$:

$x > -1$

Следовательно, область определения функции представляет собой все числа, большие -1. В виде интервала это записывается как $(-1; +\infty)$.

Ответ: $(-1; +\infty)$

2)

Для функции $f(x) = \log_{0.7}(x - 8)$ найдем область определения из условия, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x - 8 > 0$

Решая неравенство, получаем:

$x > 8$

Таким образом, область определения функции — это интервал $(8; +\infty)$.

Ответ: $(8; +\infty)$

3)

Для функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(3x + 4)$ область определения находится из условия:

$3x + 4 > 0$

Решим данное неравенство:

$3x > -4$

$x > -\frac{4}{3}$

Следовательно, область определения функции — это интервал $(-\frac{4}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(-\frac{4}{3}; +\infty)$

4)

Для функции $f(x) = \log_5(2x - 1)$ найдем область определения, решив неравенство, в котором аргумент логарифма больше нуля:

$2x - 1 > 0$

Решаем неравенство:

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$

Область определения данной функции — это интервал $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; +\infty)$

1) Для нахождения области определения функции $f(x) = \log_{\frac{1}{4}}(2-x)$ необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть строго положительным. Основание логарифма $\frac{1}{4}$ удовлетворяет условиям ($a > 0, a \neq 1$).

Составим и решим неравенство:

$2 - x > 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства, чтобы избавиться от знака минуса перед переменной:

$2 > x$

Это неравенство эквивалентно записи $x < 2$.

Таким образом, область определения функции представляет собой интервал от минус бесконечности до 2, не включая 2.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

2) Для функции $f(x) = \log_{2,5}(5 - 2x)$ область определения также находится из условия, что аргумент логарифма должен быть больше нуля. Основание $2,5$ является допустимым.

Запишем соответствующее неравенство:

$5 - 2x > 0$

Перенесем $2x$ в правую часть:

$5 > 2x$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{5}{2} > x$

что можно записать как $x < 2,5$.

Следовательно, функция определена для всех $x$, меньших 2,5.

Ответ: $x \in (-\infty; 2,5)$.

3) Для функции $f(x) = \log_5(11 - 4x)$ аргумент логарифма $(11 - 4x)$ должен быть строго положительным. Основание $5$ удовлетворяет условиям ($5 > 0, 5 \neq 1$).

Составим и решим неравенство для нахождения области определения:

$11 - 4x > 0$

Перенесем $4x$ в правую часть:

$11 > 4x$

Разделим обе части на 4:

$\frac{11}{4} > x$

Это эквивалентно $x < \frac{11}{4}$.

Область определения функции — это интервал от минус бесконечности до $\frac{11}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{11}{4})$.

4) Для функции $f(x) = \log_7(6 - 5x)$ область определения задается условием положительности ее аргумента. Основание $7$ является допустимым.

Решим неравенство:

$6 - 5x > 0$

Перенесем $5x$ в правую часть неравенства:

$6 > 5x$

Разделим обе части на 5:

$\frac{6}{5} > x$

что равносильно $x < \frac{6}{5}$.

Таким образом, функция определена для всех значений $x$, которые меньше $\frac{6}{5}$ (или 1,2).

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{6}{5})$.

1) Область определения функции $f(x) = \lg(3x - 1) + \lg(x^2 + x + 1)$ находится из условия, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ x^2 + x + 1 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $3x - 1 > 0$, откуда получаем $3x > 1$, то есть $x > \frac{1}{3}$.

Решим второе неравенство: $x^2 + x + 1 > 0$. Для анализа этого квадратного трехчлена найдем его дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), а коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 1 > 0$), квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$ положителен при всех действительных значениях $x$.

Пересечением решений $x > \frac{1}{3}$ и $x \in (-\infty, +\infty)$ является интервал $(\frac{1}{3}, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (\frac{1}{3}, +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \lg(x - 5) + \lg(x^2 + x + 2)$ определяется системой неравенств:

$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ x^2 + x + 2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства $x - 5 > 0$ следует, что $x > 5$.

Рассмотрим второе неравенство $x^2 + x + 2 > 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7$. Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, выражение $x^2 + x + 2$ положительно для всех $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, область определения функции задается только первым неравенством $x > 5$.

Ответ: $D(f) = (5, +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \log_3(x - 1) + \log_2(x + 5)$ аргументы обоих логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Решая эти неравенства, получаем:

$\begin{cases} x > 1 \\ x > -5 \end{cases}$

Чтобы оба неравенства выполнялись одновременно, необходимо, чтобы $x$ был больше большего из чисел, то есть $x > 1$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.

4) Область определения функции $f(x) = \log_7(3 - x) - \log_{0.3}(x + 2)$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} 3 - x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} x < 3 \\ x > -2 \end{cases}$

Объединяя эти два условия, получаем интервал $-2 < x < 3$.

Ответ: $D(f) = (-2, 3)$.

1) f(x) = log₃x + 2

Для построения графика функции $f(x) = \log_3 x + 2$ возьмем за основу график функции $y = \log_3 x$ и сместим его на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Найдем несколько точек для построения:

• Если $x=1$, то $y = \log_3 1 + 2 = 0 + 2 = 2$. Точка (1, 2).
• Если $x=3$, то $y = \log_3 3 + 2 = 1 + 2 = 3$. Точка (3, 3).
• Если $x=1/3$, то $y = \log_3(1/3) + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка (1/3, 1).
• Найдем точку пересечения с осью Ox (нуль функции), решив уравнение $f(x)=0$:
  $\log_3 x + 2 = 0 \implies \log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = 1/9$. Точка (1/9, 0).

График функции:

Свойства функции:

• Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$. $D(f) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: Так как основание логарифма $a=3 > 1$, функция возрастает на всей области определения.
• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=1/9$.
• Пересечение с осью Oy: Нет, так как $x=0$ не входит в область определения.
• Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$.
• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно нуля (функция общего вида).
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (1/9; +\infty)$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in (0; 1/9)$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_3 x + 2$ получен сдвигом графика $y = \log_3 x$ на 2 единицы вверх. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, возрастает на $(0; +\infty)$, нуль функции $x=1/9$, асимптота $x=0$.

2) f(x) = log₁/₃x - 4

Для построения графика функции $f(x) = \log_{1/3} x - 4$ возьмем за основу график функции $y = \log_{1/3} x$ и сместим его на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

Найдем несколько точек для построения:

• Если $x=1$, то $y = \log_{1/3} 1 - 4 = 0 - 4 = -4$. Точка (1, -4).
• Если $x=1/3$, то $y = \log_{1/3} (1/3) - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка (1/3, -3).
• Если $x=3$, то $y = \log_{1/3} 3 - 4 = -1 - 4 = -5$. Точка (3, -5).
• Найдем нуль функции: $f(x)=0$:
  $\log_{1/3} x - 4 = 0 \implies \log_{1/3} x = 4 \implies x = (1/3)^{4} = 1/81$. Точка (1/81, 0).

График функции:

Свойства функции:

• Область определения: $x > 0$. $D(f) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: Так как основание логарифма $a=1/3$ и $0 < a < 1$, функция убывает на всей области определения.
• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=1/81$.
• Пересечение с осью Oy: Нет, так как $x=0$ не входит в область определения.
• Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$.
• Четность/нечетность: Функция общего вида.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (0; 1/81)$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in (1/81; +\infty)$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_{1/3} x - 4$ получен сдвигом графика $y = \log_{1/3} x$ на 4 единицы вниз. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, убывает на $(0; +\infty)$, нуль функции $x=1/81$, асимптота $x=0$.

3) f(x) = -log₂x

Для построения графика функции $f(x) = -\log_2 x$ возьмем за основу график функции $y = \log_2 x$ и отразим его симметрично относительно оси Ox.

Найдем несколько точек для построения:

• Если $x=1$, то $y = -\log_2 1 = -0 = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x=2$, то $y = -\log_2 2 = -1$. Точка (2, -1).
• Если $x=4$, то $y = -\log_2 4 = -2$. Точка (4, -2).
• Если $x=1/2$, то $y = -\log_2(1/2) = -(-1) = 1$. Точка (1/2, 1).

График функции:

Свойства функции:

• Область определения: $x > 0$. $D(f) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: Функция $y=\log_2 x$ возрастает. После отражения относительно оси Ox функция $f(x)=-\log_2 x$ убывает на всей области определения. (Также можно заметить, что $-\log_2 x = \log_{1/2} x$, а логарифм с основанием $1/2$ убывает).
• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=1$.
• Пересечение с осью Oy: Нет.
• Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$.
• Четность/нечетность: Функция общего вида.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (0; 1)$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in (1; +\infty)$.

Ответ: График функции $f(x) = -\log_2 x$ получен отражением графика $y = \log_2 x$ относительно оси Ox. Свойства: $D(f) = (0; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, убывает на $(0; +\infty)$, нуль функции $x=1$, асимптота $x=0$.

4) f(x) = 2 - log₄(x + 3)

Для построения графика функции $f(x) = 2 - \log_4(x+3)$ выполним последовательные преобразования графика $y=\log_4 x$:
1. Сдвиг влево на 3 единицы: $y = \log_4(x+3)$.
2. Отражение относительно оси Ox: $y = -\log_4(x+3)$.
3. Сдвиг вверх на 2 единицы: $y = 2 - \log_4(x+3)$.

Найдем несколько точек для построения:

• Вертикальная асимптота смещается влево на 3: $x = -3$.
• Найдем точку, где аргумент логарифма равен 1: $x+3=1 \implies x=-2$.
  $y = 2 - \log_4(-2+3) = 2 - \log_4 1 = 2 - 0 = 2$. Точка (-2, 2).
• Найдем точку, где аргумент логарифма равен 4: $x+3=4 \implies x=1$.
  $y = 2 - \log_4(1+3) = 2 - \log_4 4 = 2 - 1 = 1$. Точка (1, 1).
• Найдем нуль функции: $f(x)=0$:
  $2 - \log_4(x+3) = 0 \implies \log_4(x+3) = 2 \implies x+3 = 4^2 = 16 \implies x=13$. Точка (13, 0).
• Найдем точку пересечения с осью Oy, положив $x=0$:
  $y = 2 - \log_4(0+3) = 2 - \log_4 3 \approx 2 - 0.79 = 1.21$. Точка $(0, 2-\log_4 3)$.

График функции:

Свойства функции:

• Область определения: $x+3 > 0 \implies x > -3$. $D(f) = (-3; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: Функция $y=\log_4 x$ возрастающая. Из-за знака "минус" перед логарифмом функция $f(x) = 2 - \log_4(x+3)$ убывает на всей области определения.
• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=13$.
• Пересечение с осью Oy: $y = 2 - \log_4 3$. Точка $(0; 2-\log_4 3)$.
• Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=-3$.
• Четность/нечетность: Функция общего вида.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (-3; 13)$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in (13; +\infty)$.

Ответ: График функции $f(x) = 2 - \log_4(x+3)$ получен из графика $y=\log_4 x$ сдвигом на 3 влево, отражением относительно оси Ox и сдвигом на 2 вверх. Свойства: $D(f) = (-3; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$, убывает на $(-3; +\infty)$, нуль функции $x=13$, асимптота $x=-3$.

1) f(x) = 4^x;

Чтобы найти функцию, обратную к $y = f(x)$, необходимо поменять местами переменные $x$ и $y$ в уравнении $y = f(x)$ и затем выразить $y$ через $x$. График обратной функции $y=f^{-1}(x)$ симметричен графику исходной функции $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$.
Исходная функция: $y = 4^x$.
Меняем местами $x$ и $y$: $x = 4^y$.
Чтобы выразить $y$, логарифмируем обе части уравнения по основанию 4:
$\log_4(x) = \log_4(4^y)$
$y = \log_4(x)$
Таким образом, обратная функция: $g(x) = \log_4(x)$.
Построим на одной координатной плоскости графики исходной функции $y=4^x$ (синий), обратной функции $y=\log_4(x)$ (красный) и прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: Обратная функция $y = \log_4(x)$.

2) f(x) = 0,2^x;

Исходная функция: $y = 0,2^x$. Можно записать как $y = (\frac{1}{5})^x$.
Меняем местами $x$ и $y$: $x = 0,2^y$.
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 0,2:
$\log_{0,2}(x) = \log_{0,2}(0,2^y)$
$y = \log_{0,2}(x)$
Таким образом, обратная функция: $g(x) = \log_{0,2}(x)$.
Построим на одной координатной плоскости графики исходной функции $y=0,2^x$ (синий), обратной функции $y=\log_{0,2}(x)$ (красный) и прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: Обратная функция $y = \log_{0,2}(x)$.

3) f(x) = 2^x+1;

Исходная функция: $y = 2^{x+1}$.
Меняем местами $x$ и $y$: $x = 2^{y+1}$.
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$\log_2(x) = \log_2(2^{y+1})$
$\log_2(x) = y+1$
$y = \log_2(x) - 1$
Таким образом, обратная функция: $g(x) = \log_2(x) - 1$.
График функции $y=2^{x+1}$ получается сдвигом графика $y=2^x$ на 1 единицу влево. График функции $y=\log_2(x) - 1$ получается сдвигом графика $y=\log_2(x)$ на 1 единицу вниз.

Ответ: Обратная функция $y = \log_2(x) - 1$.

4) f(x) = 3^x - 2;

Исходная функция: $y = 3^x - 2$.
Меняем местами $x$ и $y$: $x = 3^y - 2$.
Выражаем показательный член: $x+2 = 3^y$.
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
$\log_3(x+2) = \log_3(3^y)$
$y = \log_3(x+2)$
Таким образом, обратная функция: $g(x) = \log_3(x+2)$.
График функции $y=3^x - 2$ получается сдвигом графика $y=3^x$ на 2 единицы вниз (горизонтальная асимптота $y=-2$). График функции $y=\log_3(x+2)$ получается сдвигом графика $y=\log_3(x)$ на 2 единицы влево (вертикальная асимптота $x=-2$).

Ответ: Обратная функция $y = \log_3(x+2)$.

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+2} - \log_{1.1}(6-2x)$ находится из системы неравенств, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма – строго положительным.
Система неравенств:
$\begin{cases}x+2 \ge 0 \\6-2x > 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство:
1) $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
2) $6-2x > 0 \implies -2x > -6 \implies x < 3$
Для нахождения области определения функции необходимо найти пересечение полученных решений: $x \ge -2$ и $x < 3$.
Это соответствует промежутку $[-2; 3)$.
Ответ: $D(f) = [-2; 3)$.

2) Для нахождения области определения функции $f(x) = \sqrt{3-x} + \log_5(9+4x)$ необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — строго положительным.
Составим систему неравенств:
$\begin{cases}3-x \ge 0 \\9+4x > 0\end{cases}$
Решим систему:
$\begin{cases}-x \ge -3 \\4x > -9\end{cases}\implies\begin{cases}x \le 3 \\x > -9/4\end{cases}$
Пересечением этих двух условий является промежуток $(-9/4; 3]$.
Ответ: $D(f) = (-9/4; 3]$.

3) Область определения функции $f(x) = \log_2(x^2 - 1) + \sqrt{5-x}$ задается системой неравенств:
$\begin{cases}x^2 - 1 > 0 \\5-x \ge 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $x^2 - 1 > 0 \implies (x-1)(x+1) > 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.
2) $5-x \ge 0 \implies -x \ge -5 \implies x \le 5$. Решением является интервал $x \in (-\infty; 5]$.
Теперь найдем пересечение этих решений: $( (-\infty; -1) \cup (1; \infty) ) \cap (-\infty; 5]$.
Пересечение $(-\infty; -1)$ с $(-\infty; 5]$ дает $(-\infty; -1)$.
Пересечение $(1; \infty)$ с $(-\infty; 5]$ дает $(1; 5]$.
Областью определения является объединение этих двух промежутков.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (1; 5]$.

4) Для функции $f(x) = \log_{0.8}(1-x^4) - \sqrt{x-0.7}$ область определения находится из системы:
$\begin{cases}1-x^4 > 0 \\x-0.7 \ge 0\end{cases}$
Решим неравенства:
1) $1-x^4 > 0 \implies x^4 < 1$. Это неравенство равносильно $|x| < 1$, что означает $-1 < x < 1$. Решение: $x \in (-1; 1)$.
2) $x-0.7 \ge 0 \implies x \ge 0.7$. Решение: $x \in [0.7; \infty)$.
Найдем пересечение интервалов $(-1; 1)$ и $[0.7; \infty)$.
Пересечением является промежуток $[0.7; 1)$.
Ответ: $D(f) = [0.7; 1)$.

1) Чтобы найти область определения функции $f(x) = \log_3(x(x-3)) - \log_3(x+4)$, необходимо учесть, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} x(x-3) > 0 \\ x+4 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство $x(x-3) > 0$. Найдём корни уравнения $x(x-3) = 0$, это $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, она положительна вне корней, то есть при $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

Решим второе неравенство $x+4 > 0$, откуда получаем $x > -4$, то есть $x \in (-4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений: $x \in ((- \infty; 0) \cup (3; +\infty)) \cap (-4; +\infty)$.

Пересечение дает нам объединение двух интервалов: $(-4; 0) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-4; 0) \cup (3; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \ln(3+5x) - \ln(4-9x^2)$ область определения находится из условия, что аргументы натуральных логарифмов должны быть строго положительны. Запишем систему неравенств:

$ \begin{cases} 3+5x > 0 \\ 4-9x^2 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства $3+5x > 0$ получаем $5x > -3$, что означает $x > -3/5$.

Из второго неравенства $4-9x^2 > 0$ получаем $9x^2 < 4$, или $x^2 < 4/9$. Это неравенство выполняется для $x$, находящихся в интервале $-2/3 < x < 2/3$.

Найдем пересечение полученных множеств: $x > -3/5$ и $-2/3 < x < 2/3$. Сравним дроби: $-3/5 = -0.6$ и $-2/3 \approx -0.667$. Так как $-0.6 > -0.667$, то $-3/5 > -2/3$. Следовательно, пересечение интервалов $(-3/5; +\infty)$ и $(-2/3; 2/3)$ есть интервал $(-3/5; 2/3)$.

Ответ: $D(f) = (-3/5; 2/3)$.

3) Область определения функции $f(x) = \log_{0.5}(x^2+x) + \sqrt{2-x}$ определяется двумя условиями: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, а подкоренное выражение — неотрицательным.

$ \begin{cases} x^2+x > 0 \\ 2-x \geq 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство $x^2+x > 0$, или $x(x+1) > 0$. Корнями уравнения $x(x+1)=0$ являются $x_1=-1$ и $x_2=0$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

Решим второе неравенство $2-x \geq 0$, откуда $x \leq 2$, то есть $x \in (-\infty; 2]$.

Найдем пересечение этих множеств: $((-\infty; -1) \cup (0; +\infty)) \cap (-\infty; 2]$. Это пересечение состоит из двух частей:

1. $(-\infty; -1) \cap (-\infty; 2] = (-\infty; -1)$

2. $(0; +\infty) \cap (-\infty; 2] = (0; 2]$

Объединив их, получаем область определения.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (0; 2]$.

4) Для функции $f(x) = \sqrt{1-x} + \ln(9-x^2)$ область определения находится из следующих условий: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — строго положительным.

$ \begin{cases} 1-x \geq 0 \\ 9-x^2 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства $1-x \geq 0$ получаем $x \leq 1$.

Из второго неравенства $9-x^2 > 0$ получаем $x^2 < 9$, что эквивалентно $-3 < x < 3$.

Теперь необходимо найти пересечение решений: $x \leq 1$ и $-3 < x < 3$. Пересечением множеств $(-\infty; 1]$ и $(-3; 3)$ является полуинтервал $(-3; 1]$.

Ответ: $D(f) = (-3; 1]$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{\lg(3 + 2x - x^2)}{2 - x}$ находится из системы условий, при которых функция имеет смысл:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $3 + 2x - x^2 > 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2 - x \neq 0$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3 + 2x - x^2 > 0 \\ 2 - x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $3 + 2x - x^2 > 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 2x - 3 < 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-1; 3)$.

Решим второе условие: $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $x \in (-1; 3)$ и $x \neq 2$.
Это означает, что мы должны исключить точку $x=2$ из интервала $(-1; 3)$.

Таким образом, область определения функции представляет собой объединение двух интервалов: $(-1; 2) \cup (2; 3)$.

Ответ: $D(f) = (-1; 2) \cup (2; 3)$.

2) Область определения функции $f(x) = \frac{\ln(x^2 + 5x)}{x - 7}$ находится из системы условий:

1. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $x^2 + 5x > 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 7 \neq 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} x^2 + 5x > 0 \\ x - 7 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 5x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 5) > 0$.
Корни уравнения $x(x + 5) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.
Графиком функции $y = x^2 + 5x$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$.

Решим второе условие: $x - 7 \neq 0$, откуда $x \neq 7$.

Найдем пересечение множеств: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$ и $x \neq 7$.
Точка $x=7$ попадает в интервал $(0; +\infty)$, поэтому ее необходимо исключить.

Таким образом, область определения функции: $(-\infty; -5) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -5) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

3) Область определения функции $f(x) = \lg|x - 3| + \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ находится из системы условий для каждого слагаемого:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $|x - 3| > 0$.
2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x - 2 > 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} |x - 3| > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$

Решим первое условие: $|x - 3| > 0$.
Модуль любого числа неотрицателен. Он равен нулю только тогда, когда выражение под модулем равно нулю. Значит, неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, для которых $x - 3 = 0$.
Следовательно, $x \neq 3$.

Решим второе неравенство: $x - 2 > 0$, откуда $x > 2$.

Объединим оба условия: $x > 2$ и $x \neq 3$.
Это означает, что из интервала $(2; +\infty)$ мы должны исключить точку $x=3$.

Таким образом, область определения функции: $(2; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

4) Область определения функции $f(x) = 10 \lg|x + 4| - \frac{3}{\sqrt{8 - x}}$ находится из системы условий:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $|x + 4| > 0$.
2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $8 - x > 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} |x + 4| > 0 \\ 8 - x > 0 \end{cases}$

Решим первое условие: $|x + 4| > 0$.
Это неравенство выполняется для всех $x$, при которых $x + 4 \neq 0$.
Следовательно, $x \neq -4$.

Решим второе неравенство: $8 - x > 0$, откуда $x < 8$.

Объединим оба условия: $x < 8$ и $x \neq -4$.
Это означает, что из интервала $(-\infty; 8)$ мы должны исключить точку $x=-4$.

Таким образом, область определения функции: $(-\infty; -4) \cup (-4; 8)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 8)$.