Страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $27^{\log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{3}} + 4 \cdot 5^{\log_{0,04} 9} - 2^{\log_8 125} \cdot \log_{32} 16$

Решим по частям:

1. Преобразуем первый член $27^{\log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{3}}$.
Сначала упростим показатель степени: $\log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{3} = \log_{3^{1/2}} 3^{1/6}$.
Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$, получаем:$\frac{1/6}{1/2} \log_3 3 = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{1}{3}$.
Тогда первый член равен $27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3$.

2. Преобразуем второй член $4 \cdot 5^{\log_{0,04} 9}$.
Упростим основание логарифма: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$.
Тогда логарифм равен $\log_{0,04} 9 = \log_{5^{-2}} 3^2 = \frac{2}{-2} \log_5 3 = -1 \cdot \log_5 3 = \log_5 3^{-1} = \log_5 \frac{1}{3}$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:$4 \cdot 5^{\log_5 (1/3)} = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

3. Преобразуем третий член $2^{\log_8 125} \cdot \log_{32} 16$.
Рассмотрим первый множитель: $2^{\log_8 125} = 2^{\log_{2^3} 5^3} = 2^{\frac{3}{3} \log_2 5} = 2^{\log_2 5} = 5$.
Рассмотрим второй множитель: $\log_{32} 16 = \log_{2^5} 2^4 = \frac{4}{5} \log_2 2 = \frac{4}{5}$.
Тогда третий член равен $5 \cdot \frac{4}{5} = 4$.

4. Объединим все результаты:
$3 + \frac{4}{3} - 4 = -1 + \frac{4}{3} = \frac{-3+4}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

2) $7^{\frac{2}{\log_2 7}} \cdot 4^{\log_4 6} + 4 \cdot 6^{\frac{1}{\log_4 6}} + (\sqrt[3]{5})^{\log_3 27}$

Решим по частям:

1. Преобразуем первый член $7^{\frac{2}{\log_2 7}} \cdot 4^{\log_4 6}$.
Используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$, преобразуем показатель первого множителя: $7^{\frac{2}{\log_2 7}} = 7^{2 \log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4} = 4$.
Второй множитель по основному логарифмическому тождеству: $4^{\log_4 6} = 6$.
Тогда первый член равен $4 \cdot 6 = 24$.

2. Преобразуем второй член $4 \cdot 6^{\frac{1}{\log_4 6}}$.
Используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$, получаем: $4 \cdot 6^{\log_6 4} = 4 \cdot 4 = 16$.

3. Преобразуем третий член $(\sqrt[3]{5})^{\log_3 27}$.
Упростим показатель степени: $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$.
Тогда третий член равен $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$.

4. Объединим все результаты:
$24 + 16 + 5 = 45$.

Ответ: $45$

3) $\left( 3^{\log_{\sqrt{3}}^2 2} - 4^{\log_{\sqrt{3}} 2} \right)^2 - 3^{\frac{1}{\log_5 3}}$

Рассмотрим выражение в скобках. Обозначим $A = 3^{\log_{\sqrt{3}}^2 2}$ и $B = 4^{\log_{\sqrt{3}} 2}$.
Запись $\log_{\sqrt{3}}^2 2$ означает $(\log_{\sqrt{3}} 2)^2$.
Упростим логарифм: $\log_{\sqrt{3}} 2 = \log_{3^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2} \log_3 2 = 2 \log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$.

Теперь преобразуем член $B$:
$B = 4^{\log_{\sqrt{3}} 2} = 4^{\log_3 4}$.
Используем тождество $a=c^{\log_c a}$, чтобы представить основание 4: $4 = 3^{\log_3 4}$.
$B = (3^{\log_3 4})^{\log_3 4} = 3^{(\log_3 4) \cdot (\log_3 4)} = 3^{(\log_3 4)^2}$.

Теперь преобразуем член $A$:
$A = 3^{(\log_{\sqrt{3}} 2)^2}$. Поскольку $\log_{\sqrt{3}} 2 = \log_3 4$, то $A = 3^{(\log_3 4)^2}$.

Таким образом, $A = B$, и выражение в скобках равно $A - B = 0$.
Первая часть всего выражения равна $(0)^2 = 0$.

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $- 3^{\frac{1}{\log_5 3}}$.
Используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$, получаем: $-3^{\log_3 5}$.
По основному логарифмическому тождеству это равно $-5$.

Объединяем результаты: $0 - 5 = -5$.

Ответ: $-5$

4) $\left( 3^{\log_3 5} - 5^{\frac{1}{\log_5 3}} + 0,008^{\log_{343} 49} \right)^{-1/2}$

Примечание: В данном выражении, скорее всего, содержится опечатка, так как в исходном виде оно не упрощается до "красивого" ответа. Наиболее вероятная опечатка заключается во втором члене. Если предположить, что вместо $5^{\frac{1}{\log_5 3}}$ должно быть $5^{\log_3 3}$, то задача имеет простое решение.

Решим задачу с учетом предполагаемой опечатки: $\left( 3^{\log_3 5} - 5^{\log_3 3} + 0,008^{\log_{343} 49} \right)^{-1/2}$.

1. Первый член в скобках: $3^{\log_3 5} = 5$.

2. Второй член в скобках (с исправлением): $5^{\log_3 3} = 5^1 = 5$.

3. Третий член в скобках: $0,008^{\log_{343} 49}$.
Упростим основание степени: $0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = 5^{-3}$.
Упростим показатель степени: $\log_{343} 49 = \log_{7^3} 7^2 = \frac{2}{3} \log_7 7 = \frac{2}{3}$.
Тогда третий член равен $(5^{-3})^{2/3} = 5^{-3 \cdot (2/3)} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$.

4. Вычислим выражение в скобках:
$5 - 5 + \frac{1}{25} = \frac{1}{25}$.

5. Возведем результат в степень $-1/2$:
$(\frac{1}{25})^{-1/2} = (25)^{1/2} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: $5$

5) $\left( 2^{\log_5 2} - 5^{\frac{1}{\log_5 2}} + 5^{\log_5 25} \right)^{1/2}$

Примечание: В данном выражении, как и в предыдущем, скорее всего, содержится опечатка. В исходном виде первые два члена $2^{\log_5 2}$ и $5^{\frac{1}{\log_5 2}}$ не сокращаются и не упрощаются. Если предположить, что первый член $2^{\log_5 2}$ на самом деле должен быть $5^{\log_2 5}$, то задача имеет простое решение.

Решим задачу с учетом предполагаемой опечатки: $\left( 5^{\log_2 5} - 5^{\frac{1}{\log_5 2}} + 5^{\log_5 25} \right)^{1/2}$.

1. Первый член в скобках (с исправлением): $5^{\log_2 5}$.

2. Второй член в скобках: $-5^{\frac{1}{\log_5 2}}$.
Используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$, получаем: $-5^{\log_2 5}$.

3. Третий член в скобках: $5^{\log_5 25} = 5^{\log_5 5^2} = 5^2 = 25$.

4. Вычислим выражение в скобках:
$5^{\log_2 5} - 5^{\log_2 5} + 25 = 0 + 25 = 25$.

5. Возведем результат в степень $1/2$:
$(25)^{1/2} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: $5$

1) Для решения данного выражения введем замену: пусть $\log_3 2 = x$. Тогда, по свойству логарифмов, $\log_2 3 = \frac{1}{\log_3 2} = \frac{1}{x}$.
Упростим первую скобку:
$\log_3 2 + \log_2 81 + 4 = x + \log_2 (3^4) + 4 = x + 4\log_2 3 + 4 = x + \frac{4}{x} + 4 = \frac{x^2 + 4x + 4}{x} = \frac{(x+2)^2}{x}$.
Упростим вторую скобку, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:
$\log_3 2 - 2\log_{18} 2 = x - 2 \frac{\log_3 2}{\log_3 18} = x - 2 \frac{x}{\log_3 (9 \cdot 2)} = x - 2 \frac{x}{\log_3 9 + \log_3 2} = x - \frac{2x}{2+x} = \frac{x(x+2) - 2x}{x+2} = \frac{x^2+2x-2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$(\frac{(x+2)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+2}) \cdot \log_2 3 - \log_3 2 = (\frac{(x+2)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+2}) \cdot \frac{1}{x} - x$.
Сократим дроби: $\frac{(x+2)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{x^2}}{\cancel{x} \cdot \cancel{(x+2)}} \cdot \frac{1}{\cancel{x}} - x = (x+2) - x = 2$.
Ответ: 2

2) Введем замену: пусть $\log_2 7 = x$. Тогда $\log_7 2 = \frac{1}{x}$.
Упростим первую скобку:
$\log_2 7 + \log_7 16 + 4 = x + \log_7 (2^4) + 4 = x + 4\log_7 2 + 4 = x + \frac{4}{x} + 4 = \frac{x^2 + 4x + 4}{x} = \frac{(x+2)^2}{x}$.
Упростим вторую скобку:
$\log_2 7 - 2\log_{28} 7 = x - 2 \frac{\log_2 7}{\log_2 28} = x - 2 \frac{x}{\log_2 (4 \cdot 7)} = x - 2 \frac{x}{\log_2 4 + \log_2 7} = x - \frac{2x}{2+x} = \frac{x(x+2) - 2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$.
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$(\frac{(x+2)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+2}) \cdot \log_7 2 - \log_2 7 = (\frac{(x+2)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+2}) \cdot \frac{1}{x} - x = (x+2) - x = 2$.
Ответ: 2

3) Введем замену: пусть $\log_6 3 = x$. Тогда $\log_3 6 = \frac{1}{x}$.
Упростим первую скобку:
$\log_6 3 + \log_3 1296 + 4 = x + \log_3 (6^4) + 4 = x + 4\log_3 6 + 4 = x + \frac{4}{x} + 4 = \frac{x^2 + 4x + 4}{x} = \frac{(x+2)^2}{x}$.
Упростим вторую скобку:
$\log_6 3 - \log_{108} 9 = x - \frac{\log_6 9}{\log_6 108} = x - \frac{\log_6 3^2}{\log_6 (36 \cdot 3)} = x - \frac{2\log_6 3}{\log_6 36 + \log_6 3} = x - \frac{2x}{2+x} = \frac{x(x+2) - 2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$.
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$(\frac{(x+2)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+2}) \cdot \log_3 6 - \log_6 3 = (\frac{(x+2)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+2}) \cdot \frac{1}{x} - x = (x+2) - x = 2$.
Ответ: 2

4) Введем замену: пусть $\log_5 7 = x$. Тогда $\log_7 5 = \frac{1}{x}$.
Упростим первую скобку:
$\log_5 7 + 9\log_7 5 + 6 = x + 9 \cdot \frac{1}{x} + 6 = \frac{x^2 + 6x + 9}{x} = \frac{(x+3)^2}{x}$.
Упростим вторую скобку:
$\log_5 7 - 3\log_{875} 7 = x - 3 \frac{\log_5 7}{\log_5 875} = x - 3 \frac{x}{\log_5 (125 \cdot 7)} = x - 3 \frac{x}{\log_5 5^3 + \log_5 7} = x - \frac{3x}{3+x} = \frac{x(x+3) - 3x}{x+3} = \frac{x^2}{x+3}$.
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$(\frac{(x+3)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+3}) \cdot \log_7 5 - \log_5 7 = (\frac{(x+3)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+3}) \cdot \frac{1}{x} - x = (x+3) - x = 3$.
Ответ: 3

5) Введем замену: пусть $\log_2 5 = x$. Тогда $\log_5 2 = \frac{1}{x}$.
Упростим первую скобку:
$\log_2 5 + 16\log_5 2 + 8 = x + \frac{16}{x} + 8 = \frac{x^2 + 8x + 16}{x} = \frac{(x+4)^2}{x}$.
Упростим вторую скобку:
$\log_2 5 - 4\log_{80} 5 = x - 4 \frac{\log_2 5}{\log_2 80} = x - 4 \frac{x}{\log_2 (16 \cdot 5)} = x - 4 \frac{x}{\log_2 16 + \log_2 5} = x - \frac{4x}{4+x} = \frac{x(x+4) - 4x}{x+4} = \frac{x^2}{x+4}$.
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$(\frac{(x+4)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+4}) \cdot \log_5 2 - \log_2 5 = (\frac{(x+4)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+4}) \cdot \frac{1}{x} - x = (x+4) - x = 4$.
Ответ: 4

6) Введем замену: пусть $\log_4 6 = x$. Тогда $\log_6 4 = \frac{1}{x}$.
Упростим первую скобку:
$\log_4 6 + \log_6 4 + 2 = x + \frac{1}{x} + 2 = \frac{x^2 + 2x + 1}{x} = \frac{(x+1)^2}{x}$.
Упростим вторую скобку:
$\log_4 6 - \log_{24} 6 = x - \frac{\log_4 6}{\log_4 24} = x - \frac{x}{\log_4 (4 \cdot 6)} = x - \frac{x}{\log_4 4 + \log_4 6} = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x(x+1) - x}{x+1} = \frac{x^2}{x+1}$.
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$(\frac{(x+1)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+1}) \cdot \log_6 4 - \log_4 6 = (\frac{(x+1)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+1}) \cdot \frac{1}{x} - x = (x+1) - x = 1$.
Ответ: 1