Страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген $1; 2; 4; 8; \ldots$ тізбегі бірінші мүшесі $b_1 = 1$ және еселігі $q = 2$ болатын геометриялық прогрессия болып табылады. Оның $n$-ші мүшесінің формуласы: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 2^{n-1}$.

Прогрессияның мүшелерін $y = \log_{\sqrt{2}} x$ функциясына аргумент ретінде қойып, жаңа тізбектің ($a_n$) мүшелерін есептейміз:

$a_1 = \log_{\sqrt{2}} b_1 = \log_{\sqrt{2}} 1 = 0$

$a_2 = \log_{\sqrt{2}} b_2 = \log_{\sqrt{2}} 2 = \log_{2^{1/2}} 2^1 = \frac{1}{1/2} \log_2 2 = 2$

$a_3 = \log_{\sqrt{2}} b_3 = \log_{\sqrt{2}} 4 = \log_{2^{1/2}} 2^2 = \frac{2}{1/2} \log_2 2 = 4$

$a_4 = \log_{\sqrt{2}} b_4 = \log_{\sqrt{2}} 8 = \log_{2^{1/2}} 2^3 = \frac{3}{1/2} \log_2 2 = 6$

Тізбекті жазындар.
Нәтижесінде алынған жаңа тізбек: $0; 2; 4; 6; \ldots$. Бұл бірінші мүшесі $a_1=0$ және айырмасы $d=2$ болатын арифметикалық прогрессия.
Ответ: $0; 2; 4; 6; \ldots$.

Қорытынды жасандар.
Жалпы жағдайда, жаңа тізбектің $n$-ші мүшесі $a_n = \log_{\sqrt{2}} b_n = \log_{\sqrt{2}} (2^{n-1})$. Логарифмнің $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$ қасиетін қолданамыз: $a_n = \log_{2^{1/2}} (2^{n-1}) = \frac{n-1}{1/2} \log_2 2 = 2(n-1) = 2n - 2$. $a_n = 2n - 2$ формуласы айырмасы $d=2$ болатын арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің формуласы болып табылады.
Ответ: Егер логарифмдік функцияның аргументтері геометриялық прогрессия құрайтын сандар болса, онда функцияның сәйкес мәндері арифметикалық прогрессия құрайды.

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(b)$ находится из системы условий:

$ \begin{cases} a > 0 \\ a \neq 1 \\ b > 0 \end{cases} $

1) Для функции $f(x) = \log_{x-2}\left(\frac{2x}{x + 1} - 1\right)$ имеем систему:

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 2 \neq 1 \\ \frac{2x}{x + 1} - 1 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x - 2 > 0 \implies x > 2$.

2. $x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3$.

3. $\frac{2x}{x + 1} - 1 > 0 \implies \frac{2x - (x+1)}{x+1} > 0 \implies \frac{x-1}{x+1} > 0$.

Решая последнее неравенство методом интервалов (с точками $x=-1$ и $x=1$), получаем $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех условий: $(x > 2) \cap (x \neq 3) \cap (x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty))$.

Пересечение интервалов $(2; +\infty)$ и $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ дает $(2; +\infty)$. Учитывая, что $x \neq 3$, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \log_{x+5}\left(\frac{3x+2}{2x-1}\right)$ имеем систему:

$ \begin{cases} x + 5 > 0 \\ x + 5 \neq 1 \\ \frac{3x+2}{2x-1} > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x + 5 > 0 \implies x > -5$.

2. $x + 5 \neq 1 \implies x \neq -4$.

3. $\frac{3x+2}{2x-1} > 0$.

Решая последнее неравенство методом интервалов (с точками $x=-2/3$ и $x=1/2$), получаем $x \in (-\infty; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(x > -5) \cap (x \neq -4) \cap (x \in (-\infty; -2/3) \cup (1/2; +\infty))$.

Пересечение интервала $(-5; +\infty)$ с объединением $(-\infty; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$ дает $(-5; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$. Исключая точку $x=-4$, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-5; -4) \cup (-4; -2/3) \cup (1/2; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \log_{x-1}\left(\frac{x}{9-x^2}\right)$ имеем систему:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \\ \frac{x}{9-x^2} > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

2. $x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2$.

3. $\frac{x}{9-x^2} > 0 \implies \frac{x}{(3-x)(3+x)} > 0$.

Решая последнее неравенство методом интервалов (с точками $x=-3$, $x=0$ и $x=3$), получаем $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)$.

Найдем пересечение решений: $(x > 1) \cap (x \neq 2) \cap (x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3))$.

Пересечение интервала $(1; +\infty)$ с объединением $(-\infty; -3) \cup (0; 3)$ дает $(1; 3)$. Исключая точку $x=2$, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; 3)$.

4) Для функции $f(x) = \log_{3-x}\left(\frac{x^2-4}{x}\right)$ имеем систему:

$ \begin{cases} 3 - x > 0 \\ 3 - x \neq 1 \\ \frac{x^2-4}{x} > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $3 - x > 0 \implies x < 3$.

2. $3 - x \neq 1 \implies x \neq 2$.

3. $\frac{x^2-4}{x} > 0 \implies \frac{(x-2)(x+2)}{x} > 0$.

Решая последнее неравенство методом интервалов (с точками $x=-2$, $x=0$ и $x=2$), получаем $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(x < 3) \cap (x \neq 2) \cap (x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty))$.

Пересечение интервала $(-\infty; 3)$ с объединением $(-2; 0) \cup (2; +\infty)$ дает $(-2; 0) \cup (2; 3)$. Условие $x \neq 2$ уже учтено в полученных интервалах.

Ответ: $x \in (-2; 0) \cup (2; 3)$.

1) $f(x) = \lg|x^2 - 1|$

Для построения графика функции $y = \lg|x^2 - 1|$ выполним следующие шаги:

1.Сначала рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = x^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, -1)$ и пересечениями с осью Ox в точках $x=-1$ и $x=1$.

2.Далее строим график функции $h(x) = |x^2 - 1|$. Для этого часть параболы $g(x)$, которая лежит ниже оси Ox (на интервале $(-1, 1)$), симметрично отражаем относительно оси Ox. Вершина параболы $(0, -1)$ переходит в точку $(0, 1)$.

3.Теперь строим итоговый график $y = \lg(|x^2 - 1|)$.

- Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $|x^2 - 1| > 0$, что означает $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$.

- Асимптоты: Прямые $x = -1$ и $x = 1$ являются вертикальными асимптотами. Когда $x$ стремится к $1$ или $-1$, выражение $|x^2 - 1|$ стремится к $0^+$, а $\lg(|x^2 - 1|)$ стремится к $-\infty$.

- Пересечения с осями:

- С осью Oy: $x=0 \implies y = \lg|0^2 - 1| = \lg(1) = 0$. Точка $(0, 0)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies \lg|x^2 - 1| = 0 \implies |x^2 - 1| = 1$. Это дает два уравнения: $x^2 - 1 = 1$ (откуда $x^2 = 2$, $x = \pm\sqrt{2}$) и $x^2 - 1 = -1$ (откуда $x^2 = 0$, $x = 0$). Точки пересечения: $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.

- Симметрия: Функция является четной, так как $f(-x) = \lg|(-x)^2 - 1| = \lg|x^2 - 1| = f(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

- Поведение на бесконечности: При $x \to \pm\infty$, $|x^2 - 1| \to +\infty$, следовательно, $\lg|x^2 - 1| \to +\infty$.

График функции состоит из трех ветвей.

Ответ: График функции представляет собой три ветви, симметричные относительно оси Oy. Вертикальные асимптоты $x=-1$ и $x=1$, на которых функция уходит в $-\infty$. График пересекает ось Ox в точках $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.

2) $f(x) = \lg|x - 3|$

Построение графика функции $y = \lg|x - 3|$ можно выполнить путем преобразований графика базовой функции $y = \lg(x)$.

1.Строим график $y_1 = \lg(x)$. Это возрастающая функция, определенная для $x > 0$, с вертикальной асимптотой $x=0$ и пересечением с осью Ox в точке $(1, 0)$.

2.Строим график $y_2 = \lg|x|$. Для этого отражаем график $y_1$ симметрично относительно оси Oy. Получаем график, определенный для всех $x \neq 0$, симметричный относительно оси Oy, с асимптотой $x=0$ и пересечениями оси Ox в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

3.Итоговый график $y = \lg|x - 3|$ получаем сдвигом графика $y_2$ на 3 единицы вправо.

- Область определения: $|x - 3| > 0 \implies x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; \infty)$.

- Асимптота: Вертикальная асимптота смещается вправо на 3, становясь прямой $x=3$. При $x \to 3$, $y \to -\infty$.

- Пересечения с осями:

- С осью Oy: $x=0 \implies y = \lg|0 - 3| = \lg(3) \approx 0.477$. Точка $(0, \lg 3)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies \lg|x - 3| = 0 \implies |x - 3| = 1$. Это дает $x-3 = 1$ (т.е. $x=4$) и $x-3 = -1$ (т.е. $x=2$). Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=3$. Функция уходит на $-\infty$ при приближении к асимптоте. График пересекает ось Ox в точках $(2, 0)$ и $(4, 0)$, а ось Oy в точке $(0, \lg 3)$.

3) $f(x) = |\lg|x||$

Для построения графика $y = |\lg|x||$ выполним следующие шаги:

1.Строим график $y_1 = \lg(x)$.

2.Строим график $y_2 = \lg|x|$, отражая $y_1$ симметрично относительно оси Oy. График $y_2$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=1$. На интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$ график лежит ниже оси Ox.

3.Применяем внешний модуль: $y = |\lg|x||$. Это означает, что все части графика $y_2$, которые находятся ниже оси Ox, нужно симметрично отразить относительно оси Ox.

- Область определения: $|x| > 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.

- Асимптота: $x=0$ - вертикальная асимптота. При $x \to 0$, $\lg|x| \to -\infty$, следовательно $|\lg|x|| \to +\infty$.

- Пересечения с осями:

- С осью Oy пересечения нет, так как $x \neq 0$.

- С осью Ox: $y=0 \implies |\lg|x|| = 0 \implies \lg|x| = 0 \implies |x| = 1 \implies x = \pm 1$. Точки пересечения (а точнее, касания) - $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. В этих точках график имеет "изломы" (острые углы).

- Симметрия и область значений: Функция четная, так как $f(-x) = |\lg|-x|| = |\lg|x|| = f(x)$. График симметричен относительно оси Oy. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: График симметричен относительно оси Oy и расположен полностью в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Имеется вертикальная асимптота $x=0$, на которой функция уходит в $+\infty$. График касается оси Ox в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, образуя в них острые углы.

4) $f(x) = 4 - |\log_3|x - 1||$

Построение графика этой сложной функции также выполним по шагам:

1.$y_1 = \log_3(x)$ - базовая логарифмическая функция.

2.$y_2 = \log_3|x|$ - симметрия $y_1$ относительно оси Oy.

3.$y_3 = \log_3|x - 1|$ - сдвиг $y_2$ на 1 вправо. Асимптота $x=1$, нули в $x=0$ и $x=2$.

4.$y_4 = |\log_3|x - 1||$ - отражение отрицательной части $y_3$ (на интервалах $(0,1)$ и $(1,2)$) вверх. График неотрицателен, асимптота $x=1$ уходит в $+\infty$, изломы в $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

5.$y_5 = -|\log_3|x - 1||$ - отражение $y_4$ относительно оси Ox. График неположителен, асимптота $x=1$ уходит в $-\infty$, изломы в $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

6.$y = f(x) = 4 - |\log_3|x - 1|| = 4 + y_5$ - сдвиг $y_5$ на 4 единицы вверх.

- Область определения: $|x - 1| > 0 \implies x \neq 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

- Асимптота: Вертикальная асимптота $x=1$. При $x \to 1$, $y \to -\infty$.

- Симметрия: График симметричен относительно прямой $x=1$.

- Экстремумы: Точки излома $(0, 0)$ и $(2, 0)$ из шага 4 после всех преобразований становятся точками локальных максимумов. Их координаты: $(0, 4)$ и $(2, 4)$.

- Пересечения с осями:

- С осью Oy: $x=0 \implies y = 4$. Точка $(0, 4)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies 4 - |\log_3|x - 1|| = 0 \implies |\log_3|x - 1|| = 4$. Отсюда $\log_3|x-1| = 4$ или $\log_3|x-1| = -4$.

- $|x-1| = 3^4 = 81 \implies x-1 = \pm 81 \implies x=82, x=-80$.

- $|x-1| = 3^{-4} = 1/81 \implies x-1 = \pm 1/81 \implies x=1+1/81 = 82/81, x=1-1/81 = 80/81$.

- Точки пересечения: $(-80, 0)$, $(80/81, 0)$, $(82/81, 0)$, $(82, 0)$.

Ответ: График симметричен относительно прямой $x=1$. Имеет вертикальную асимптоту $x=1$, на которой функция уходит в $-\infty$. Две точки локального максимума (острые пики) находятся в $(0, 4)$ и $(2, 4)$. График пересекает ось Ox в четырех точках: $x=-80$, $x=80/81$, $x=82/81$ и $x=82$.