Страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для того чтобы найти общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{2}{2x-1}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Первообразная $F(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.

$F(x) = \int \frac{2}{2x-1} dx$

Вынесем постоянный множитель 2 за знак интеграла:

$F(x) = 2 \int \frac{1}{2x-1} dx$

Данный интеграл является табличным и соответствует виду $\int \frac{dx}{kx+b} = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$. В нашем случае $k=2$ и $b=-1$.

Применяя эту формулу, получаем:

$F(x) = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \ln|2x-1| \right) + C = \ln|2x-1| + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Для проверки правильности результата можно найти производную от полученной первообразной $F(x)$:

$F'(x) = (\ln|2x-1| + C)' = \frac{1}{2x-1} \cdot (2x-1)' + 0 = \frac{1}{2x-1} \cdot 2 = \frac{2}{2x-1}$

Так как $F'(x) = f(x)$, решение найдено верно.

Ответ: $F(x) = \ln|2x-1| + C$.

2)

Чтобы найти общий вид первообразной для функции $f(x) = e^{3x+2}$, нужно вычислить неопределенный интеграл $\int e^{3x+2} dx$.

$F(x) = \int e^{3x+2} dx$

Этот интеграл решается с помощью формулы для интегрирования показательной функции $\int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$. В данном случае $k=3$ и $b=2$.

Применяем формулу:

$F(x) = \frac{1}{3}e^{3x+2} + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная.

Проверим результат, взяв производную от $F(x)$:

$F'(x) = \left( \frac{1}{3}e^{3x+2} + C \right)' = \frac{1}{3} \cdot (e^{3x+2})' + 0 = \frac{1}{3} \cdot e^{3x+2} \cdot (3x+2)' = \frac{1}{3} \cdot e^{3x+2} \cdot 3 = e^{3x+2}$

Поскольку $F'(x) = f(x)$, первообразная найдена правильно.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x+2} + C$.

1) Дана функция: $f(x) = \frac{x^2}{0,5^{1-2x}}$.

Для нахождения производной $f'(x)$ сначала упростим выражение для функции $f(x)$. Учитывая, что $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, получаем:

$f(x) = \frac{x^2}{(2^{-1})^{1-2x}} = \frac{x^2}{2^{-(1-2x)}} = x^2 \cdot 2^{1-2x}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = 2^{1-2x}$.

Тогда их производные:

$u'(x) = 2x$

$v'(x) = (2^{1-2x})' = 2^{1-2x} \cdot \ln(2) \cdot (1-2x)' = -2 \ln(2) \cdot 2^{1-2x}$

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^2)' \cdot 2^{1-2x} + x^2 \cdot (2^{1-2x})' = 2x \cdot 2^{1-2x} + x^2 \cdot (-2 \ln(2) \cdot 2^{1-2x})$.

Вынесем общий множитель $2x \cdot 2^{1-2x}$ за скобки:

$f'(x) = 2x \cdot 2^{1-2x} (1 - x \ln(2))$

Теперь вычислим значение производной в точке $x=1$:

$f'(1) = 2(1) \cdot 2^{1-2(1)} (1 - 1 \cdot \ln(2)) = 2 \cdot 2^{-1} (1 - \ln(2)) = 1 \cdot (1 - \ln(2)) = 1 - \ln(2)$.

Ответ: $1 - \ln(2)$.

2) Дана функция: $f(x) = \frac{3^{1-2x}}{x^{-4}}$.

Упростим выражение для функции:

$f(x) = x^4 \cdot 3^{1-2x}$

Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^4$ и $v(x) = 3^{1-2x}$.

Их производные:

$u'(x) = 4x^3$

$v'(x) = (3^{1-2x})' = 3^{1-2x} \cdot \ln(3) \cdot (1-2x)' = -2 \ln(3) \cdot 3^{1-2x}$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = (x^4)' \cdot 3^{1-2x} + x^4 \cdot (3^{1-2x})' = 4x^3 \cdot 3^{1-2x} + x^4 \cdot (-2 \ln(3) \cdot 3^{1-2x})$.

Вынесем общий множитель $x^3 \cdot 3^{1-2x}$ за скобки:

$f'(x) = x^3 \cdot 3^{1-2x} (4 - 2x \ln(3))$

Вычислим значение производной в точке $x=2$:

$f'(2) = 2^3 \cdot 3^{1-2(2)} (4 - 2(2) \ln(3)) = 8 \cdot 3^{-3} (4 - 4 \ln(3)) = 8 \cdot \frac{1}{27} \cdot 4(1 - \ln(3)) = \frac{32}{27}(1 - \ln(3))$.

Ответ: $\frac{32}{27}(1 - \ln(3))$.

3) Дана функция: $f(x) = \ln(1,5 - x) - e^{x-1}$.

Найдем производную функции как разность производных: $(u-v)' = u' - v'$.

Производная первого слагаемого (используя правило для сложной функции):

$(\ln(1,5-x))' = \frac{1}{1,5-x} \cdot (1,5-x)' = \frac{1}{1,5-x} \cdot (-1) = \frac{-1}{1,5-x}$.

Производная второго слагаемого:

$(e^{x-1})' = e^{x-1} \cdot (x-1)' = e^{x-1} \cdot 1 = e^{x-1}$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = \frac{-1}{1,5 - x} - e^{x-1}$.

Вычислим значение производной в точке $x=1$:

$f'(1) = \frac{-1}{1,5 - 1} - e^{1-1} = \frac{-1}{0,5} - e^0 = -2 - 1 = -3$.

Ответ: $-3$.

4) Дана функция: $f(x) = \ln(2 - 3x) + x$.

Найдем производную функции как сумму производных: $(u+v)' = u' + v'$.

Производная первого слагаемого:

$(\ln(2 - 3x))' = \frac{1}{2 - 3x} \cdot (2 - 3x)' = \frac{1}{2 - 3x} \cdot (-3) = \frac{-3}{2 - 3x}$.

Производная второго слагаемого:

$(x)' = 1$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = \frac{-3}{2 - 3x} + 1$.

Найдем значение производной в точке $x=\frac{1}{3}$:

$f'\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{-3}{2 - 3 \cdot \frac{1}{3}} + 1 = \frac{-3}{2 - 1} + 1 = \frac{-3}{1} + 1 = -3 + 1 = -2$.

Теперь сравним полученное значение с нулем:

$-2 < 0$.

Следовательно, значение $f'\left(\frac{1}{3}\right)$ меньше нуля.

Ответ: $f'\left(\frac{1}{3}\right) = -2$, это значение меньше нуля.

1)

Чтобы доказать, что функция $f(x) = x \cdot e^{2x-1}$ возрастает на промежутке $[-0,5; +\infty)$, необходимо найти ее производную и определить знак производной на этом промежутке. Функция возрастает, если ее производная неотрицательна ($f'(x) \ge 0$) на данном промежутке.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = e^{2x-1}$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = e^{2x-1} \cdot (2x-1)' = 2e^{2x-1}$.

$f'(x) = (x)' \cdot e^{2x-1} + x \cdot (e^{2x-1})' = 1 \cdot e^{2x-1} + x \cdot 2e^{2x-1} = e^{2x-1}(1 + 2x)$

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = e^{2x-1}(1 + 2x)$ на промежутке $[-0,5; +\infty)$.

Множитель $e^{2x-1}$ всегда положителен при любом значении $x$, так как это показательная функция ($e^a > 0$ для любого $a$).

Знак производной зависит от знака множителя $(1 + 2x)$.

Рассмотрим промежуток $x \in [-0,5; +\infty)$, что эквивалентно неравенству $x \ge -0,5$.

Если $x \ge -0,5$, то $2x \ge -1$, и $1 + 2x \ge 0$.

Таким образом, на промежутке $[-0,5; +\infty)$ оба множителя в выражении для производной неотрицательны: $e^{2x-1} > 0$ и $(1 + 2x) \ge 0$. Следовательно, их произведение $f'(x) = e^{2x-1}(1 + 2x) \ge 0$ на всем промежутке $[-0,5; +\infty)$.

Поскольку производная функции неотрицательна на указанном промежутке и равна нулю лишь в одной точке $x = -0,5$, функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: Производная функции $f'(x) = e^{2x-1}(1 + 2x)$. На промежутке $[-0,5; +\infty)$, множитель $e^{2x-1} > 0$, а множитель $(1 + 2x) \ge 0$. Следовательно, $f'(x) \ge 0$, и функция возрастает, что и требовалось доказать.

2)

Чтобы доказать, что функция $f(x) = \log_5(1 - 3x)$ убывает на промежутке $(-\infty; \frac{1}{3})$, необходимо найти ее производную и показать, что она отрицательна ($f'(x) < 0$) на этом промежутке.

Сначала определим область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$1 - 3x > 0 \implies 1 > 3x \implies x < \frac{1}{3}$

Область определения функции — $(-\infty; \frac{1}{3})$, что совпадает с данным промежутком.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования логарифмической функции $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$:

$f'(x) = (\log_5(1 - 3x))' = \frac{(1-3x)'}{(1-3x)\ln 5} = \frac{-3}{(1-3x)\ln 5}$

Теперь проанализируем знак производной $f'(x)$ на промежутке $(-\infty; \frac{1}{3})$.

Числитель дроби равен -3, что является отрицательным числом.

Рассмотрим знаменатель $(1-3x)\ln 5$:

- Множитель $\ln 5$ — это константа, и так как основание натурального логарифма $e \approx 2,718$ и $5 > 1$, то $\ln 5 > 0$.

- Множитель $(1-3x)$ положителен на всей области определения функции, то есть при $x < \frac{1}{3}$.

Таким образом, знаменатель является произведением двух положительных величин, а значит, он положителен: $(1-3x)\ln 5 > 0$ для всех $x \in (-\infty; \frac{1}{3})$.

В итоге, производная $f'(x) = \frac{-3}{(1-3x)\ln 5}$ представляет собой частное от деления отрицательного числа (-3) на положительное число ($(1-3x)\ln 5$), следовательно, $f'(x) < 0$ на всем промежутке $(-\infty; \frac{1}{3})$.

Поскольку производная функции строго отрицательна на указанном промежутке, функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Ответ: Производная функции $f'(x) = \frac{-3}{(1-3x)\ln 5}$. На промежутке $(-\infty; \frac{1}{3})$, числитель -3 отрицателен, а знаменатель $(1-3x)\ln 5$ положителен. Следовательно, $f'(x) < 0$, и функция убывает, что и требовалось доказать.

1) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Для функции $f(x) = \ln(2x) + x^{-1}$ в точке $x_0 = 0,5$ найдем необходимые значения.
1. Значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0,5) = \ln(2 \cdot 0,5) + (0,5)^{-1} = \ln(1) + \frac{1}{0,5} = 0 + 2 = 2$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (\ln(2x) + x^{-1})' = \frac{1}{2x} \cdot (2x)' + (-1) \cdot x^{-2} = \frac{2}{2x} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$.
3. Значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(0,5) = \frac{1}{0,5} - \frac{1}{(0,5)^2} = 2 - \frac{1}{0,25} = 2 - 4 = -2$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = 2 + (-2)(x - 0,5)$
$y = 2 - 2x + 1$
$y = -2x + 3$.
Ответ: $y = -2x + 3$

2) Для функции $f(x) = e^{1+2x} - 4x^3$ в точке $x_0 = -0,5$ найдем необходимые значения.
1. Значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-0,5) = e^{1+2(-0,5)} - 4(-0,5)^3 = e^{1-1} - 4(-0,125) = e^0 + 0,5 = 1 + 0,5 = 1,5$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (e^{1+2x} - 4x^3)' = e^{1+2x} \cdot (1+2x)' - 12x^2 = 2e^{1+2x} - 12x^2$.
3. Значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-0,5) = 2e^{1+2(-0,5)} - 12(-0,5)^2 = 2e^0 - 12(0,25) = 2 - 3 = -1$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:
$y = 1,5 + (-1)(x - (-0,5))$
$y = 1,5 - (x + 0,5)$
$y = 1,5 - x - 0,5$
$y = -x + 1$.
Ответ: $y = -x + 1$

3) Для функции $f(x) = \ln(-0,5x) - x^2$ в точке $x_0 = -2$ найдем необходимые значения.
1. Значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-2) = \ln(-0,5 \cdot (-2)) - (-2)^2 = \ln(1) - 4 = 0 - 4 = -4$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (\ln(-0,5x) - x^2)' = \frac{1}{-0,5x} \cdot (-0,5) - 2x = \frac{1}{x} - 2x$.
3. Значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-2) = \frac{1}{-2} - 2(-2) = -0,5 + 4 = 3,5$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:
$y = -4 + 3,5(x - (-2))$
$y = -4 + 3,5(x + 2)$
$y = -4 + 3,5x + 7$
$y = 3,5x + 3$.
Ответ: $y = 3,5x + 3$

4) Для функции $f(x) = e^{1-2x} - x^{-2}$ в точке $x_0 = 0,5$ найдем необходимые значения.
1. Значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(0,5) = e^{1-2(0,5)} - (0,5)^{-2} = e^{1-1} - (\frac{1}{0,5})^2 = e^0 - 2^2 = 1 - 4 = -3$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (e^{1-2x} - x^{-2})' = e^{1-2x} \cdot (1-2x)' - (-2)x^{-3} = -2e^{1-2x} + 2x^{-3} = -2e^{1-2x} + \frac{2}{x^3}$.
3. Значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(0,5) = -2e^{1-2(0,5)} + \frac{2}{(0,5)^3} = -2e^0 + \frac{2}{0,125} = -2 \cdot 1 + 16 = 14$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:
$y = -3 + 14(x - 0,5)$
$y = -3 + 14x - 7$
$y = 14x - 10$.
Ответ: $y = 14x - 10$

1) Для функции $y = x + \ln(-x)$ на отрезке $[-4; 0,5]$.

Заметим, что область определения функции $y = x + \ln(-x)$ задается условием $-x > 0$, то есть $x < 0$. Указанный в условии отрезок $[-4; 0,5]$ содержит значения $x \ge 0$, в которых функция не определена. Вероятно, в условии допущена опечатка. Будем считать, что имелся в виду отрезок $[-4; -0,5]$, который полностью входит в область определения функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:

1. Найти производную функции $y'$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $y' = 0$.
3. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку, и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x + \ln(-x))' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-1) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.

2. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$\frac{x-1}{x} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$.

Эта точка не принадлежит отрезку $[-4; -0,5]$. Производная не определена в точке $x=0$, которая также не принадлежит отрезку.

3. Так как на отрезке $[-4; -0,5]$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -4$ и $x = -0,5$.

При $x = -4$:

$y(-4) = -4 + \ln(-(-4)) = -4 + \ln(4) = -4 + \ln(2^2) = -4 + 2\ln(2)$.

Используя данное приближение $\ln2 \approx 0,7$:

$y(-4) \approx -4 + 2 \cdot 0,7 = -4 + 1,4 = -2,6$.

При $x = -0,5$:

$y(-0,5) = -0,5 + \ln(-(-0,5)) = -0,5 + \ln(0,5) = -0,5 + \ln(2^{-1}) = -0,5 - \ln(2)$.

Используя данное приближение $\ln2 \approx 0,7$:

$y(-0,5) \approx -0,5 - 0,7 = -1,2$.

4. Сравним полученные значения: $y(-4) \approx -2,6$ и $y(-0,5) \approx -1,2$.

Наименьшее значение функции на отрезке: $y_{min} = -4 + \ln(4) \approx -2,6$.

Наибольшее значение функции на отрезке: $y_{max} = -0,5 - \ln(2) \approx -1,2$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -4 + \ln(4)$, наибольшее значение $y_{max} = -0,5 - \ln(2)$.

2) Для функции $y = x + e^{-x}$ на отрезке $[-\ln4; \ln2]$.

1. Область определения функции — все действительные числа. Найдем производную:

$y' = (x + e^{-x})' = 1 + e^{-x} \cdot (-1) = 1 - e^{-x}$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$1 - e^{-x} = 0 \implies e^{-x} = 1 \implies -x = \ln(1) \implies -x = 0 \implies x = 0$.

Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-\ln4; \ln2]$, так как $\ln4 > 0 \implies -\ln4 < 0$ и $\ln2 > 0$.

3. Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x = -\ln4$ и $x = \ln2$.

При $x = -\ln4$:

$y(-\ln4) = -\ln4 + e^{-(-\ln4)} = -\ln4 + e^{\ln4} = 4 - \ln4 = 4 - 2\ln2$.

Используя $\ln2 \approx 0,7$:

$y(-\ln4) \approx 4 - 2 \cdot 0,7 = 4 - 1,4 = 2,6$.

При $x = 0$:

$y(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1$.

При $x = \ln2$:

$y(\ln2) = \ln2 + e^{-\ln2} = \ln2 + e^{\ln(2^{-1})} = \ln2 + 2^{-1} = \ln2 + 0,5$.

Используя $\ln2 \approx 0,7$:

$y(\ln2) \approx 0,7 + 0,5 = 1,2$.

4. Сравним полученные значения: $y(-\ln4) \approx 2,6$; $y(0) = 1$; $y(\ln2) \approx 1,2$.

Наименьшее из этих значений равно $1$.

Наибольшее из этих значений равно $4 - \ln4 \approx 2,6$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = 1$, наибольшее значение $y_{max} = 4 - \ln4$.

1) Фигура ограничена кривыми: $y = \frac{1}{x}$, $y = 4$, $x = 1$ и $x = e$. Для нахождения площади этой фигуры необходимо вычислить определённый интеграл. Сначала определим, какая из функций является верхней, а какая — нижней границей на отрезке $[1, e]$. На этом отрезке функция $y = \frac{1}{x}$ принимает значения от $1$ (при $x=1$) до $\frac{1}{e}$ (при $x=e$). Оба эти значения меньше 4, поэтому линия $y=4$ является верхней границей, а кривая $y = \frac{1}{x}$ — нижней. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле площади криволинейной трапеции, ограниченной двумя кривыми: $S = \int_{a}^{b} (y_{верх}(x) - y_{ниж}(x)) dx$
В нашем случае $a=1$, $b=e$, $y_{верх}(x) = 4$ и $y_{ниж}(x) = \frac{1}{x}$.
$S = \int_{1}^{e} (4 - \frac{1}{x}) dx$
Найдём первообразную для подынтегральной функции:
$\int (4 - \frac{1}{x}) dx = 4x - \ln|x|$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = [4x - \ln|x|]_{1}^{e} = (4e - \ln|e|) - (4 \cdot 1 - \ln|1|)$
Так как на отрезке $[1, e]$ переменная $x > 0$, то $|x|=x$. Учитывая, что $\ln(e) = 1$ и $\ln(1) = 0$, получаем:
$S = (4e - 1) - (4 - 0) = 4e - 1 - 4 = 4e - 5$

Ответ: $4e - 5$

2) Фигура ограничена кривыми: $y = 1 + e^x$, $y = 3$, $x = -4$ и $x = 0$. Найдём площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Область интегрирования задана вертикальными линиями $x=-4$ и $x=0$. На этом отрезке $[-4, 0]$ нам нужно сравнить функции $y = 1 + e^x$ и $y=3$. Функция $y = 1 + e^x$ является возрастающей. Её значение при $x = -4$ равно $1 + e^{-4}$, а при $x=0$ равно $1 + e^0 = 2$. Максимальное значение функции на этом отрезке равно 2, что меньше 3. Следовательно, линия $y=3$ является верхней границей, а кривая $y = 1 + e^x$ — нижней. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{a}^{b} (y_{верх}(x) - y_{ниж}(x)) dx$
В нашем случае $a=-4$, $b=0$, $y_{верх}(x) = 3$ и $y_{ниж}(x) = 1 + e^x$.
$S = \int_{-4}^{0} (3 - (1 + e^x)) dx = \int_{-4}^{0} (2 - e^x) dx$
Найдём первообразную для подынтегральной функции:
$\int (2 - e^x) dx = 2x - e^x$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = [2x - e^x]_{-4}^{0} = (2 \cdot 0 - e^0) - (2 \cdot (-4) - e^{-4})$
Учитывая, что $e^0=1$, получаем:
$S = (0 - 1) - (-8 - e^{-4}) = -1 - (-8 - e^{-4}) = -1 + 8 + e^{-4} = 7 + e^{-4}$

Ответ: $7 + e^{-4}$

1)

Заметим, что область определения функции $f(x) = e^{1-x} + \ln(-e^x)$ является пустой для действительных чисел $x$. Это связано с тем, что выражение под знаком натурального логарифма должно быть положительным, однако $-e^x < 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, функция не определена, и найти ее производную невозможно.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Учитывая вид второй задачи, в которой используется $\ln(-x)$, можно предположить, что правильная функция должна была иметь вид $f(x) = e^{1-x} + \ln(-x)$. Решим задачу для этой функции.

Область определения функции $f(x) = e^{1-x} + \ln(-x)$ задается условием $-x > 0$, то есть $x < 0$. Точка $x=-1$ входит в область определения.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правила дифференцирования суммы и сложной функции:

$f'(x) = (e^{1-x} + \ln(-x))' = (e^{1-x})' + (\ln(-x))'$

$(e^{1-x})' = e^{1-x} \cdot (1-x)' = e^{1-x} \cdot (-1) = -e^{1-x}$

$(\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = -e^{1-x} + \frac{1}{x}$

Теперь найдем значение производной в точке $x = -1$:

$f'(-1) = -e^{1-(-1)} + \frac{1}{-1} = -e^{2} - 1$

Ответ: при условии, что функция имела вид $f(x) = e^{1-x} + \ln(-x)$, значение производной $f'(-1) = -e^2 - 1$.

2)

Дана функция $f(x) = e^{1+2x}\ln(-x)$. Необходимо сравнить значение ее производной в точке $x = -0,5$ с нулем.

Область определения функции задается условием $-x > 0$, что означает $x < 0$. Точка $x=-0,5$ принадлежит области определения.

Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

Пусть $u(x) = e^{1+2x}$ и $v(x) = \ln(-x)$.

$u'(x) = (e^{1+2x})' = e^{1+2x} \cdot (1+2x)' = 2e^{1+2x}$

$v'(x) = (\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$

Производная $f'(x)$ равна:

$f'(x) = u'v + uv' = 2e^{1+2x}\ln(-x) + e^{1+2x} \cdot \frac{1}{x} = e^{1+2x}(2\ln(-x) + \frac{1}{x})$

Вычислим значение производной в точке $x = -0,5$:

$f'(-0,5) = e^{1+2(-0,5)}(2\ln(-(-0,5)) + \frac{1}{-0,5})$

$f'(-0,5) = e^{1-1}(2\ln(0,5) - 2) = e^0(2\ln(0,5) - 2) = 1 \cdot (2\ln(0,5) - 2) = 2\ln(0,5) - 2$

Теперь сравним полученное значение с нулем. Мы знаем, что основание натурального логарифма $e \approx 2,718$. Для любого числа $a$ из интервала $(0, 1)$ значение $\ln(a)$ является отрицательным. Поскольку $0,5 \in (0, 1)$, то $\ln(0,5) < 0$.

Следовательно, $2\ln(0,5)$ также является отрицательным числом.

Выражение $2\ln(0,5) - 2$ представляет собой сумму двух отрицательных чисел (так как $-2$ тоже отрицательное), что всегда дает в результате отрицательное число.

Таким образом, $f'(-0,5) = 2\ln(0,5) - 2 < 0$.

Ответ: $f'(-0,5) < 0$.

1) Функцияның өспелі екенін дәлелдеу үшін оның туындысын тауып, таңбасын зерттейміз. Егер $y' > 0$ болса, онда функция өспелі болады.

Берілген функция: $y = 0,4^{1-5x}$. Бұл көрсеткіштік функция.

Күрделі функцияның туындысын табу ережесін $(a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u'$ қолданамыз:

$y' = (0,4^{1-5x})' = 0,4^{1-5x} \cdot \ln(0,4) \cdot (1-5x)' = 0,4^{1-5x} \cdot \ln(0,4) \cdot (-5)$.

Енді туындының таңбасын анықтайық:

- $0,4^{1-5x}$ — көрсеткіштік функция болғандықтан, оның мәні әрқашан оң: $0,4^{1-5x} > 0$.

- $\ln(0,4)$ — логарифм негізі $0 < 0,4 < 1$ аралығында болғандықтан, оның мәні теріс: $\ln(0,4) < 0$.

- $(-5)$ — теріс сан.

Осылайша, туынды үш көбейткіштен тұрады: $y' = (\text{оң}) \cdot (\text{теріс}) \cdot (\text{теріс})$. Екі теріс санның көбейтіндісі оң сан беретіндіктен, $y' > 0$ болады.

Туынды $x$-тің кез келген мәнінде оң болғандықтан, функция барлық нақты сандар жиынында өседі.

Ответ: Функцияның туындысы $y' = -5 \ln(0,4) \cdot 0,4^{1-5x}$ кез келген нақты $x$ үшін оң, себебі $\ln(0,4) < 0$. Сондықтан $y = 0,4^{1-5x}$ функциясы барлық нақты сандар жиынында өседі.

2) Функцияның кемімелі екенін дәлелдеу үшін оның туындысын тауып, таңбасын зерттейміз. Егер $f'(x) < 0$ болса, онда функция кемімелі болады.

Берілген функция: $f(x) = 21^{1-2x}$.

Туындысын табамыз:

$f'(x) = (21^{1-2x})' = 21^{1-2x} \cdot \ln(21) \cdot (1-2x)' = 21^{1-2x} \cdot \ln(21) \cdot (-2)$.

Туындының таңбасын анықтайық:

- $21^{1-2x} > 0$ (көрсеткіштік функцияның мәні әрқашан оң).

- $\ln(21) > 0$ (логарифм негізі $21 > 1$ болғандықтан).

- $(-2) < 0$ (теріс сан).

Туындының таңбасы: $f'(x) = (\text{оң}) \cdot (\text{оң}) \cdot (\text{теріс})$. Көбейтіндінің нәтижесі теріс болады, яғни $f'(x) < 0$.

Туынды $x$-тің кез келген мәнінде теріс болғандықтан, функция барлық нақты сандар жиынында кемиді.

Ответ: Функцияның туындысы $f'(x) = -2 \ln(21) \cdot 21^{1-2x}$ кез келген нақты $x$ үшін теріс, себебі $\ln(21) > 0$. Сондықтан $f(x) = 21^{1-2x}$ функциясы барлық нақты сандар жиынында кемиді.

3) Функцияның өспелі екенін дәлелдеу үшін оның туындысын табамыз.

Берілген функция: $\varphi(x) = x^3 + e^2 + 3x$. Мұндағы $e^2$ — тұрақты сан.

Туындысын табамыз:

$\varphi'(x) = (x^3 + e^2 + 3x)' = (x^3)' + (e^2)' + (3x)' = 3x^2 + 0 + 3 = 3x^2 + 3$.

Туындының таңбасын зерттейік. $x$-тің кез келген нақты мәнінде $x^2 \geq 0$. Сондықтан $3x^2 \geq 0$.

Демек, $3x^2 + 3 \geq 0 + 3$, яғни $\varphi'(x) \geq 3$.

Туынды $x$-тің кез келген мәнінде оң ($\varphi'(x) > 0$) болғандықтан, функция барлық нақты сандар жиынында өседі.

Ответ: Функцияның туындысы $\varphi'(x) = 3x^2 + 3$ кез келген нақты $x$ үшін оң мән қабылдайды ($3x^2+3 \geq 3$). Сондықтан $\varphi(x) = x^3 + e^2 + 3x$ функциясы барлық нақты сандар жиынында өседі.

4) Функцияның кемімелі екенін дәлелдеу үшін оның туындысын табамыз.

Берілген функция: $h(x) = e^{-x} - x^5$.

Туындысын табамыз:

$h'(x) = (e^{-x} - x^5)' = (e^{-x})' - (x^5)' = -e^{-x} - 5x^4$.

Туындының таңбасын зерттейік:

- $e^{-x}$ өрнегі $x$-тің кез келген мәнінде оң, сондықтан $-e^{-x}$ мүшесі әрқашан теріс: $-e^{-x} < 0$.

- $x^4$ өрнегі жұп дәреже болғандықтан, теріс емес: $x^4 \geq 0$. Сондықтан $-5x^4$ мүшесі оң емес: $-5x^4 \leq 0$.

$h'(x) = -e^{-x} - 5x^4$ туындысы теріс сан ($-e^{-x}$) мен оң емес санның ($-5x^4$) қосындысы болып табылады. Мұндай қосынды әрқашан теріс болады. Мысалы, егер $x=0$ болса, $h'(0) = -e^0 - 5(0)^4 = -1 < 0$. Егер $x \neq 0$ болса, $-e^{-x}$ теріс және $-5x^4$ теріс, олардың қосындысы да теріс болады.

Сонымен, кез келген нақты $x$ үшін $h'(x) < 0$. Туынды теріс болғандықтан, функция барлық нақты сандар жиынында кемиді.

Ответ: Функцияның туындысы $h'(x) = -e^{-x} - 5x^4$ кез келген нақты $x$ үшін теріс, себебі ол теріс және оң емес қосылғыштардан тұрады. Сондықтан $h(x) = e^{-x} - x^5$ функциясы барлық нақты сандар жиынында кемиді.